Ens. scientifique · Première · Son et musique, porteurs d’informations
La musique ou l’art de faire entendre les nombres
Une gamme est une suite de rapports.
En bref
« La musique est un exercice d’arithmétique secret », écrivait Leibniz.
« La musique est un exercice d’arithmétique secret », écrivait Leibniz. Le programme le prend au mot : une gamme est une suite de rapports de fréquences.
Pythagore et le monocorde
Sur une corde tendue, la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur qui vibre : diviser la longueur par deux double la fréquence.
| Intervalle consonant | Son rapport de fréquences |
|---|---|
| L’octave | 2/1 |
| La quinte | 3/2 |
| La quarte | 4/3 |
Les intervalles jugés consonants correspondent à des rapports de nombres entiers simples. C’est la découverte fondatrice.
| Note | Sa fréquence |
|---|---|
| la2 | 220 Hz |
| la3 | 440 Hz |
| la4 | 880 Hz |
Deux notes séparées d’une octave portent d’ailleurs le même nom.
La gamme de Pythagore
On empile des quintes (× 3/2), puis on ramène chaque note dans l’octave de départ en divisant par 2 autant de fois qu’il le faut. Le procédé donne sept notes, puis douze.
Le comma, ou l’impossibilité arithmétique
| Empilement | Sa valeur |
|---|---|
| Douze quintes : (3/2)^12 | environ 129,7 |
| Sept octaves : 2^7 | 128 |
L’écart, environ 1,4 %, s’appelle le comma pythagoricien. Aucune puissance de 3/2 n’est jamais égale à une puissance de 2 : la gamme ne se referme pas sur elle-même, et un instrument ainsi accordé sonne faux dès qu’on change de tonalité.
La gamme tempérée
Généralisée à l’époque de Bach : l’octave est divisée en douze demi-tons rigoureusement égaux, de rapport 2^(1/12), soit environ 1,059.
| Ce qu’on perd | Ce qu’on gagne |
|---|---|
| Aucun intervalle n’est parfaitement juste — la quinte tempérée vaut 1,498 au lieu de 1,5 | Toutes les tonalités deviennent également jouables |
Douze demi-tons redonnent exactement l’octave, puisque (2^(1/12))^12 = 2.
C’est un compromis assumé entre la pureté arithmétique et la liberté musicale.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est le rapport de fréquences d’une octave ?
2.Quel rapport de fréquences correspond à une quinte ?
3.Comment varie la fréquence émise par une corde quand on divise par deux sa longueur vibrante ?
4.Qu’est-ce que le comma pythagoricien ?
5.Quel est le rapport de fréquences d’un demi-ton dans la gamme tempérée ?
6.Quelle est la fréquence du la3, note de référence de l’accord des instruments ?
0 / 6 questions
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