Physique-Chimie · Terminale · Modéliser l’évolution temporelle d’un système chimique
Évolution d’une population de noyaux radioactifs
Imprévisible un par un, régulier en masse.
En bref
Un noyau isolé se désintègre à un instant imprévisible.
Un noyau isolé se désintègre à un instant imprévisible. Mais un échantillon en contient des milliards : à cette échelle, le hasard devient une loi mathématique exacte.
La loi de décroissance
N(t) = N₀ × e^(−λt)
| Symbole | Ce qu’il désigne | Unité |
|---|---|---|
| N(t) | Noyaux non encore désintégrés à l’instant t | — |
| N₀ | Noyaux à l’instant initial | — |
| λ | La constante radioactive, propre au noyau | s⁻¹ |
λ traduit la probabilité, pour un noyau donné, de se désintégrer par unité de temps. Elle vérifie dN/dt = −λN.
La demi-vie
t₁/₂ = ln2 / λ — la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux se sont désintégrés.
| Noyau | Demi-vie | Ce qu’elle permet |
|---|---|---|
| Iode 131 | 8 jours | Médecine nucléaire |
| Carbone 14 | 5 730 ans | Datation jusqu’à environ 50 000 ans |
| Uranium 238 | 4,5 milliards d’années | Datation des roches |
Elle est caractéristique du noyau et ne dépend ni de la quantité initiale, ni des conditions extérieures.
Lire une courbe
| Après… | Il reste |
|---|---|
| 1 demi-vie | N₀/2 |
| 2 demi-vies | N₀/4 |
| 3 demi-vies | N₀/8 |
| 10 demi-vies | moins d’un millième |
La population est divisée par deux à chaque t₁/₂ — jamais réduite d’une quantité fixe. C’est une décroissance exponentielle, pas linéaire.
L’activité
A(t) = λ × N(t) = A₀ × e^(−λt), en becquerel (Bq) : le nombre de désintégrations par seconde.
Elle décroît selon la même loi que N. C’est elle qu’on mesure — au compteur Geiger — jamais N directement.
La datation
t = (1/λ) × ln(A₀/A)
| Méthode | Ce qui fixe A₀ | Portée |
|---|---|---|
| Carbone 14 | L’organisme vivant échange du carbone, et cesse à sa mort | environ 50 000 ans |
| Uranium-plomb, potassium-argon | La composition initiale de la roche | Des milliards d’années |
Au-delà de 50 000 ans, il ne reste pas assez de ¹⁴C pour mesurer : ce n’est pas une limite d’appareil, c’est une limite physique.
Une demi-vie n’est pas une durée de vie : après t₁/₂, l’échantillon n’est pas « à moitié mort ». Il a exactement la même probabilité de perdre encore la moitié de ce qui reste pendant la période suivante.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la loi de décroissance radioactive ?
2.Quelle relation lie la demi-vie t₁/₂ et la constante radioactive λ ?
3.Après trois demi-vies, quelle fraction de l’échantillon initial subsiste ?
4.Quelle est l’unité de l’activité d’un échantillon radioactif ?
5.Comment l’activité A est-elle reliée au nombre de noyaux N ?
6.La demi-vie d’un noyau dépend de la quantité initiale d’échantillon.
0 / 6 questions
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