Écoulements, théorème de Bernoulli et distillation fractionnée

Dans une usine, la matière voyage dans des tuyaux, poussée par des pompes, puis elle est séparée dans des colonnes. Cette fiche donne les outils pour décrire ces flux de matière.

Débit et vitesse

Débit volumique : Q_v = S × v (m³/s) ; débit massique : q_m = ρ × Q_v

Pour un écoulement permanent d’un liquide incompressible, le débit se conserve : S₁ × v₁ = S₂ × v₂. Là où le tuyau se rétrécit, le fluide accélère.

Pression et statique des fluides

p = F / S (pascal ; 1 bar = 10⁵ Pa)

Le principe fondamental de la statique des fluides relie la pression à la profondeur :

p_B − p_A = ρ × g × (z_A − z_B)

Plus on descend, plus la pression augmente : 10 m d’eau ajoutent environ 1 bar. C’est ainsi qu’un capteur de pression au fond d’une cuve mesure la hauteur de liquide.

Le théorème de Bernoulli

Pour un fluide parfait, incompressible, en écoulement permanent, le long d’une ligne de courant :

p + ½ × ρ × v² + ρ × g × z = constante

C’est une forme de conservation de l’énergie (par unité de volume). Dans une installation réelle, on ajoute :

• ✱l’énergie apportée par une pompe ;
• ✱les pertes de charge, qui augmentent avec la longueur du tuyau, la vitesse, et les singularités (coudes, vannes, rétrécissements), et diminuent quand le diamètre augmente.

La pompe

Puissance hydraulique (utile) : P_h = Q_v × Δp ; rendement : η = P_h / P_absorbée

La pompe doit compenser la différence de hauteur, la différence de pression et les pertes de charge.

Diagrammes binaires liquide-vapeur

Pour un mélange de deux liquides A et B, on repère la composition par la fraction molaire x_A = n_A / (n_A + n_B) (ou la fraction massique).

Le diagramme isobare porte deux courbes :

Entre les deux, liquide et vapeur coexistent ; la vapeur est plus riche en constituant le plus volatil. Si les deux courbes se touchent en un point, ce mélange est un azéotrope : il bout à température constante sans changer de composition.

La distillation fractionnée

Dans la colonne, la vapeur monte et le liquide redescend : chaque plateau réalise un nouvel équilibre liquide-vapeur. En tête de colonne, on recueille le constituant le plus volatil (ou l’azéotrope) ; dans le bouilleur reste le moins volatil. Le reflux (renvoyer une partie du distillat dans la colonne) améliore la séparation. Pour isoler un solide dissous, on utilise plutôt l’évaporation puis la cristallisation, en exploitant la solubilité.

Exemple travaillé

Un tuyau de 2,0 cm² où l’eau circule à 1,5 m/s rétrécit à 0,50 cm² : v₂ = 1,5 × 2,0 / 0,50 = 6,0 m/s. Le débit reste 3,0 × 10⁻⁴ m³/s, soit 18 L/min.

!Un azéotrope ne peut pas être séparé par une simple distillation fractionnée : c’est lui qui sort en tête, avec sa composition fixe (eau-éthanol à 95,6 % en masse d’éthanol).