Seuil, Newton, Euler : les algorithmes à connaître

Le programme de Première associe à ses chapitres quelques algorithmes précis. Chacun répond à une question que le calcul seul ne règle pas facilement.

L'algorithme de seuil (suites)

La question : à partir de quel rang n la suite dépasse-t-elle une valeur donnée ?

Un capital de 1 000 euros placé à 5 % par an : u(0) = 1000 et u(n+1) = 1,05 u(n). Quand dépasse-t-il 2 000 euros ?

def seuil():
    n = 0
    u = 1000
    while u < 2000:
        n = n + 1
        u = 1.05 * u
    return n

La fonction renvoie 15 : 1,05 puissance 14 ≈ 1,98 reste sous 2, tandis que 1,05 puissance 15 ≈ 2,08 le dépasse.

→On utilise while : on ne sait pas à l'avance combien de tours il faudra. La condition est celle pour continuer, c'est-à-dire le contraire de ce que l'on attend.

Les sécantes (dérivation)

Le nombre dérivé est la limite du coefficient directeur des sécantes, (f(a + h) − f(a)) / h. Un programme calcule ces coefficients pour h = 0,1 ; 0,01 ; 0,001… et montre qu'ils se rapprochent de f'(a).

La méthode de Newton (équations)

La question : approcher une solution de f(x) = 0. On part d'une valeur x0 et on remplace la courbe par sa tangente : là où la tangente coupe l'axe des abscisses se trouve la valeur suivante.

x(n+1) = x(n) − f(x(n)) / f'(x(n))

Exemple : approcher √2 avec f(x) = x² − 2, donc f'(x) = 2x, et x0 = 1.

√2 ≈ 1,41421 : trois étapes suffisent pour quatre décimales justes.

→La méthode exige f'(x(n)) non nul — on ne divise pas par zéro — et un point de départ assez proche de la solution : on se limite aux cas favorables.

La méthode d'Euler (exponentielle)

La question : construire point par point une fonction f telle que f' = f et f(0) = 1. Sur un petit pas h, f(x + h) ≈ f(x) + h f'(x) = (1 + h) f(x). D'où la suite :

y(0) = 1 et y(k+1) = (1 + h) y(k)

Avec h = 0,1, dix pas mènent à x = 1 : y(10) = 1,1 puissance 10 ≈ 2,59, une valeur approchée de e ≈ 2,718. Plus le pas est petit, meilleure est l'approximation.

La méthode d'Archimède (trigonométrie)

On encadre le périmètre du cercle de rayon 1, donc 2π, entre ceux de polygones réguliers inscrits et circonscrits dont on double le nombre de côtés : l'encadrement de π se resserre à chaque étape.

→Un algorithme se relit toujours à la main sur les premiers tours : c'est la meilleure façon de vérifier une condition de boucle.