Primitives et méthode d’Euler

Si l’on connaît la vitesse d’un mobile à chaque instant, peut-on retrouver sa position ? Oui : il faut chercher une primitive, c’est-à-dire faire le chemin inverse de la dérivation.

Définition

F est une primitive de f sur un intervalle I si, pour tout x de I :

F’(x) = f(x)

Exemple : F(x) = x² est une primitive de f(x) = 2x, car (x²)’ = 2x.

Une infinité de primitives

→Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Si F est une primitive de f, toutes les primitives s’écrivent F(x) + C, C réel. Géométriquement, leurs courbes se déduisent l’une de l’autre par translation verticale.

Pour choisir la bonne, il faut une condition initiale : la valeur en un point.

Les primitives usuelles

Vérifie toujours en dérivant ta primitive : tu dois retrouver f.

Exemple travaillé : de la vitesse à la position

Un mobile a une vitesse v(t) = 3t² + 2 (en m/s) et se trouve en x = 5 m à t = 0.

• ✱Primitives : x(t) = t³ + 2t + C.
• ✱Condition initiale : x(0) = C = 5.
• ✱Donc x(t) = t³ + 2t + 5. À t = 2 s : x = 8 + 4 + 5 = 17 m.

Exemple : un signal sinusoïdal

Primitive de f(t) = 6 cos(3t) : F(t) = 6 × (1/3) sin(3t) = 2 sin(3t) (+ C). Vérification : (2 sin 3t)’ = 2 × 3 cos 3t = 6 cos 3t.

La méthode d’Euler

Quand on ne sait pas trouver une primitive explicite, on construit une approximation de sa courbe, point par point. On part d’un point connu (x0 ; y0) et on avance d’un pas h en suivant la tangente :

x(n+1) = x(n) + h

y(n+1) = y(n) + h × f(x(n))

C’est l’approximation affine appliquée à répétition.

Exemple d’Euler

On cherche F telle que F’(x) = 1/x et F(1) = 0, avec un pas h = 0,5.

On obtient F(2) ≈ 0,83. (Tu découvriras en terminale que la valeur exacte est ln 2 ≈ 0,69 : la méthode surestime ici, car la courbe est concave.)

→Plus le pas est petit, plus l’approximation est précise, mais plus il faut d’étapes : c’est ce que calculent un tableur ou un programme en boucle.