Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Première · Mathématiques — Analyse
Dérivation
La vitesse à laquelle tout varie.
En bref
La dérivée mesure la vitesse à laquelle une grandeur varie.
La dérivée mesure la vitesse à laquelle une grandeur varie. En physique, elle est partout : la vitesse est la dérivée de la position, la puissance la dérivée de l’énergie.
Du taux de variation au nombre dérivé
Le taux de variation de f entre x0 et x0 + h :
[f(x0 + h) − f(x0)] / h
Quand h tend vers 0, s’il a une limite finie, c’est le nombre dérivé f’(x0). On note aussi df/dx (x0).
Géométriquement, f’(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x0.
Tangente : y = f’(x0)(x − x0) + f(x0)
L’approximation affine
Près de x0, la courbe ressemble à sa tangente :
f(x0 + h) ≈ f(x0) + f’(x0) × h
En physique : Δy ≈ f’(x0) × Δx. Exemple : f(x) = √x en x0 = 100 ; f’(100) = 1/20. √101 ≈ 10 + 1/20 = 10,05 (valeur exacte 10,0499…).
Les dérivées usuelles
| f(x) | f’(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| xⁿ (n entier ≥ 1) | n xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
| √x | 1/(2√x) |
| cos x | −sin x |
| sin x | cos x |
Les opérations
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u’ + v’ |
| k u | k u’ |
| u × v | u’ v + u v’ |
| 1/v | −v’/v² |
| u/v | (u’ v − u v’)/v² |
| f(a x + b) | a f’(a x + b) |
| A cos(ω t + φ) | −A ω sin(ω t + φ) |
| A sin(ω t + φ) | A ω cos(ω t + φ) |
Étudier les variations
Si f’ > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f’ < 0, décroissante. Là où f’ s’annule en changeant de signe, f a un extremum.
Exemple travaillé
f(x) = x³ − 3x² + 1 sur [−1 ; 3].
- f’(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).
- f’ s’annule en 0 et en 2 ; f’ > 0 sur [−1 ; 0[, f’ < 0 sur ]0 ; 2[, f’ > 0 sur ]2 ; 3].
- f est croissante, puis décroissante, puis croissante : maximum local f(0) = 1, minimum local f(2) = 8 − 12 + 1 = −3.
Lien avec la physique
- Position x(t) → vitesse v(t) = x’(t) → accélération a(t) = v’(t).
- Énergie E(t) → puissance P(t) = E’(t).
Exemple : x(t) = 2t² + 3t (en m). v(t) = 4t + 3 ; à t = 2 s, v = 11 m/s ; a = 4 m/s², constante.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que représente géométriquement f’(x0) ?
2.Quelle est la dérivée de x³ ?
3.Quelle est la dérivée de 1/x ?
4.Quelle est la dérivée de sin x ?
5.Quelle est la dérivée de 5 cos(2t) ?
6.Quelle est la dérivée de u × v ?
0 / 6 questions
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