Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Première · Mathématiques — Géométrie dans le plan
Trigonométrie et fonctions sinusoïdales
Le cercle qui dessine les signaux.
En bref
Le courant du secteur, une vibration, un son pur : tous sont décrits par des fonctions sinusoïdales.
Le courant du secteur, une vibration, un son pur : tous sont décrits par des fonctions sinusoïdales. Pour les manipuler, il faut maîtriser le cercle trigonométrique et le radian.
Le radian
Le radian est l’angle qui intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de longueur R. Un tour complet vaut 2π rad.
Conversion : angle en rad = angle en degrés × π / 180
| Degrés | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 360 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 2π |
Le cercle trigonométrique
C’est le cercle de centre O et de rayon 1, parcouru dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre). À un réel x, on associe un point M ; ses coordonnées sont (cos x ; sin x).
cos² x + sin² x = 1
−1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1
Un angle orienté a une infinité de mesures, qui diffèrent de 2π : x et x + 2kπ repèrent le même point. La mesure principale est celle comprise dans ]−π ; π].
Valeurs remarquables
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
Les angles associés
| L’angle | cos | sin |
|---|---|---|
| −x | cos x | −sin x |
| π − x | −cos x | sin x |
| π + x | −cos x | −sin x |
| π/2 − x | sin x | cos x |
| π/2 + x | −sin x | cos x |
On les retrouve toujours par symétrie sur le cercle.
Résoudre cos x = a ou sin x = a
Exemple : cos x = 1/2 sur ]−π ; π]. Sur le cercle, deux points ont pour abscisse 1/2 : x = π/3 ou x = −π/3.
Exemple : sin x = 1/2 sur [0 ; 2π[ : x = π/6 ou x = 5π/6 (car sin(π − x) = sin x).
Les fonctions sinusoïdales
u(t) = A × cos(ω t + φ)
| Le paramètre | Nom | Unité |
|---|---|---|
| A | Amplitude (valeur maximale) | Celle de la grandeur (V, m…) |
| ω | Pulsation | rad/s |
| φ | Phase à l’origine | rad |
| ω t + φ | Phase à l’instant t | rad |
Période : T = 2π / ω ; fréquence : f = 1 / T ; donc ω = 2π f
Exemple travaillé
La tension du secteur s’écrit u(t) = 325 cos(100π t).
- Amplitude : 325 V.
- Pulsation : ω = 100π ≈ 314 rad/s.
- Période : T = 2π / (100π) = 1/50 = 0,02 s ; fréquence 50 Hz.
- À t = 5 ms : u = 325 cos(100π × 0,005) = 325 cos(π/2) = 0 V.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Combien vaut 60° en radians ?
2.Combien vaut π/4 rad en degrés ?
3.Quelle relation est toujours vraie ?
4.Que vaut cos(π/3) ?
5.Que vaut sin(π − x) ?
6.Solutions de cos x = 1/2 sur ]−π ; π] ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Trigo et sinusoïdes » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
