Produit scalaire

Le produit scalaire associe à deux vecteurs un nombre réel. Il sert à calculer des angles et des longueurs, à démontrer des orthogonalités… et, en physique, à calculer le travail d’une force.

Définition géométrique

Pour deux vecteurs u et v non nuls formant un angle θ :

u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ

Si u ou v est nul, u · v = 0.

Interprétation par la projection

‖u‖ × cos θ est la projection (algébrique) de u sur l’axe dirigé par v. Donc :

u · v = (projection de u sur v) × ‖v‖

C’est exactement le travail d’une force : seule la composante de la force dans la direction du déplacement travaille.

Expression dans un repère orthonormé

Si u(x ; y) et v(x’ ; y’) :

u · v = x x’ + y y’

‖u‖ = √(x² + y²)

Exemple : u(3 ; 4) et v(2 ; −1). u · v = 3 × 2 + 4 × (−1) = 2. ‖u‖ = 5, ‖v‖ = √5.

Propriétés

• ✱Symétrie : u · v = v · u.
• ✱Bilinéarité : u · (v + w) = u · v + u · w ; (k u) · v = k (u · v).
• ✱u · u = ‖u‖².

Orthogonalité

→Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Exemple : u(2 ; 3) et v(−3 ; 2) : u · v = −6 + 6 = 0, ils sont orthogonaux.

Calculer un angle

cos θ = u · v / (‖u‖ × ‖v‖)

Exemple : u(1 ; 1) et v(1 ; 0) : u · v = 1, ‖u‖ = √2, ‖v‖ = 1, cos θ = 1/√2 = √2/2, donc θ = 45°.

Le théorème d’Al-Kashi

Dans un triangle ABC, avec a = BC, b = AC, c = AB et l’angle  :

a² = b² + c² − 2 b c cos Â

C’est une généralisation de Pythagore : si  = 90°, cos  = 0 et on retrouve a² = b² + c².

Exemple : b = 5, c = 8, Â = 60° : a² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 0,5 = 49, donc a = 7.

Lien avec la physique : le travail

W = F · AB = F × AB × cos α

Une force de 100 N tire un chariot sur 10 m avec un angle de 60° : W = 100 × 10 × 0,5 = 500 J. Le poids d’un objet qui se déplace horizontalement ne travaille pas : il est perpendiculaire au déplacement. Et le travail de la résultante est la somme des travaux de chaque force : c’est la bilinéarité.