Nombres complexes : forme exponentielle

En première, tu as écrit un nombre complexe sous la forme a + i b et défini son module et son argument. La forme exponentielle rend les produits et les rotations presque gratuits, et c’est elle que les électriciens utilisent pour les tensions sinusoïdales.

L’exponentielle complexe

e^(iθ) = cos θ + i sin θ

C’est le point du cercle trigonométrique d’angle θ : son module vaut 1.

La forme exponentielle

Tout complexe non nul s’écrit

z = r × e^(iθ), avec r = |z| > 0 et θ un argument de z

Passer de a + i b à r e^(iθ) : r = √(a² + b²), puis cos θ = a/r et sin θ = b/r.

Exemples :

• ✱1 + i : r = √2 et cos θ = sin θ = √2/2, donc 1 + i = √2 e^(iπ/4).
• ✱2 e^(iπ/3) = 2 (cos π/3 + i sin π/3) = 2 (1/2 + i √3/2) = 1 + i√3.

Les règles de calcul

Elles prolongent celles de l’exponentielle réelle :

r e^(iθ) × r’ e^(iθ’) = r r’ e^(i(θ + θ’))

(e^(iθ))ⁿ = e^(i n θ)

→On multiplie les modules et on additionne les arguments.

Exemple : 2 e^(iπ/6) × 3 e^(iπ/3) = 6 e^(iπ/2) = 6i.

Les formules de trigonométrie qui en découlent

En développant e^(i(a + b)) = e^(ia) × e^(ib) et en identifiant parties réelles et imaginaires :

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos 2a = cos² a − sin² a = 2 cos² a − 1 = 1 − 2 sin² a

sin 2a = 2 sin a cos a

Linéariser : cos² a = (1 + cos 2a) / 2 et sin² a = (1 − cos 2a) / 2.

Application : une primitive de cos² t est t/2 + sin(2t)/4. Et la moyenne de cos²(ω t) sur une période vaut ½ : c’est pourquoi la puissance moyenne dissipée par une résistance parcourue par i = I max cos(ω t) vaut R × I max² / 2 = R × I eff².

Réduire a cos(ω t) + b sin(ω t)

a cos(ω t) + b sin(ω t) = A cos(ω t + φ), avec A = √(a² + b²), cos φ = a/A et sin φ = −b/A

Exemple : √3 cos t + sin t. A = √(3 + 1) = 2 ; cos φ = √3/2 et sin φ = −1/2, donc φ = −π/6 : √3 cos t + sin t = 2 cos(t − π/6). La somme de deux signaux de même fréquence est une sinusoïde de même fréquence.

Résoudre des équations

• ✱Premier degré : (1 + i) z = 2 donne z = 2 / (1 + i) = 2 (1 − i) / 2 = 1 − i.
• ✱z² = a avec a réel : si a > 0, z = ±√a ; si a < 0, z = ±i √(−a). Exemple : z² = −9 donne z = 3i ou z = −3i.

Interpréter géométriquement

Exemple : multiplier par i = e^(iπ/2) fait tourner d’un quart de tour : le point d’affixe 2 devient 2i.

En électricité

Un courant i(t) = I √2 cos(ω t + φ) est représenté par le complexe I e^(iφ) : additionner des courants de même fréquence revient à additionner des complexes (les électriciens notent j au lieu de i, pour ne pas confondre avec l’intensité).