Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Terminale · Mathématiques — Analyse
Équations différentielles
L’inconnue est une fonction.
En bref
Une tasse de café refroidit d’autant plus vite qu’elle est plus chaude que la pièce ; un échantillon radioactif perd d’autant plus de noyaux qu’il en contient.
Une tasse de café refroidit d’autant plus vite qu’elle est plus chaude que la pièce ; un échantillon radioactif perd d’autant plus de noyaux qu’il en contient. Ces lois relient une grandeur à sa vitesse de variation : ce sont des équations différentielles.
Définition
Une équation différentielle relie une fonction inconnue y, sa variable (x ou t) et ses dérivées. Une solution est une fonction qui vérifie l’égalité pour tout x de l’intervalle.
Les notations y’ et dy/dx désignent la même chose ; dy/dt, habituelle en physique, rappelle le nom de la variable et se lit comme un rapport de petites variations.
Des exemples variés : y’ = 2y ; 2y − x y’ = 0 ; y’ + y² = 0 ; y’’ + 9y = 0.
Vérifier qu’une fonction est solution
On calcule chaque membre séparément et on compare.
- y = 3 e^(2x) : y’ = 6 e^(2x) = 2 × 3 e^(2x) = 2y. C’est une solution de y’ = 2y.
- y = cos(3t) : y’ = −3 sin(3t), y’’ = −9 cos(3t), donc y’’ + 9y = 0 : c’est une solution de y’’ + 9y = 0, l’équation d’un oscillateur.
L’équation y’ = a y
Solutions : y(x) = C × e^(a x), C réel quelconque
La somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore des solutions.
Exemple : la radioactivité, dN/dt = −λ N, a pour solutions N(t) = C e^(−λ t) ; avec N(0) = N0, N(t) = N0 e^(−λ t). Une réaction chimique d’ordre 1 suit la même loi : [A](t) = [A]0 e^(−k t).
L’équation y’ = a y + b (a ≠ 0)
Solutions : y(x) = C × e^(a x) − b / a
La fonction constante −b/a en est une solution particulière (sa dérivée est nulle : a y + b = 0).
Avec une condition initiale y(x0) = y0, il existe une unique solution : on détermine C.
Méthode
- Identifier a et b.
- Écrire la forme générale y = C e^(a x) − b/a.
- Utiliser la condition initiale pour trouver C.
- Répondre à la question (valeur à un instant, instant où une valeur est atteinte, limite).
Exemple travaillé : le refroidissement
Une boisson à 90 °C refroidit dans une pièce à 20 °C ; t en minutes :
θ’ = −0,1 θ + 2
- a = −0,1 et b = 2 ; −b/a = 20 : c’est la température de la pièce, la solution d’équilibre.
- θ(t) = C e^(−0,1 t) + 20.
- θ(0) = C + 20 = 90, donc C = 70 : θ(t) = 70 e^(−0,1 t) + 20.
- À t = 10 min : θ = 70 e^(−1) + 20 ≈ 45,8 °C.
- Quand atteint-on 30 °C ? 70 e^(−0,1 t) = 10, soit e^(−0,1 t) = 1/7, donc t = 10 ln 7 ≈ 19,5 min.
- Quand t tend vers +∞, θ tend vers 20 °C.
La méthode d’Euler
Quand on ne sait pas résoudre, on approche la solution pas à pas, avec un petit pas h :
y(x + h) ≈ y(x) + h × y’(x)
Pour y’ = y et y(0) = 1, avec h = 0,1 : y(0,1) ≈ 1 + 0,1 × 1 = 1,1 ; y(0,2) ≈ 1,1 + 0,1 × 1,1 = 1,21. La vraie valeur est e^0,2 ≈ 1,221 : plus h est petit, meilleure est l’approximation. Un tableur ou une boucle en Python fait des milliers de pas.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelles sont les solutions de y’ = 2y ?
2.La fonction y = 3 e^(2x) est solution de y’ = 2y.
3.Quelle est la solution constante de θ’ = −0,1 θ + 2 ?
4.Quelle est la forme générale des solutions de θ’ = −0,1 θ + 2 ?
5.Avec θ(0) = 90, que vaut C dans θ(t) = C e^(−0,1 t) + 20 ?
6.Température à t = 10 min pour θ(t) = 70 e^(−0,1 t) + 20 ?
0 / 6 questions
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