Maths · 3e · Grandeurs et mesures
Agrandissement et réduction : échelles, aires et volumes
Longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
En bref
Plans, cartes, maquettes, pyramides coupées : dès qu'une figure est agrandie ou réduite, un seul nombre gouverne tout, le coefficient k.
Plans, cartes, maquettes, pyramides coupées : dès qu'une figure est agrandie ou réduite, un seul nombre gouverne tout, le coefficient k. Encore faut-il savoir ce qu'il multiplie.
Le coefficient
| La valeur de k | L'effet |
|---|---|
| k > 1 | Un agrandissement |
| k < 1 (et positif) | Une réduction |
| k = 1 | La figure est inchangée |
On le trouve en divisant une longueur de l'image par la longueur correspondante de la figure de départ : un segment de 5 cm devenu 2 cm donne k = 2 ÷ 5 = 0,4.
La règle des trois puissances
| La grandeur | Elle est multipliée par | Avec k = 3 | Avec k = 0,5 |
|---|---|---|---|
| Les longueurs | k | × 3 | × 0,5 |
| Les aires | k² | × 9 | × 0,25 |
| Les volumes | k³ | × 27 | × 0,125 |
| Les angles | Inchangés |
Doubler les dimensions d'une boîte ne double pas sa contenance : elle est multipliée par 2³ = 8.
Exemple : un rectangle de 6 cm × 4 cm (aire 24 cm²) agrandi avec k = 1,5 a une aire de 24 × 1,5² = 24 × 2,25 = 54 cm². Vérification : 9 × 6 = 54.
Remonter au coefficient
| Ce qu'on sait | Ce qu'on en déduit |
|---|---|
| Les aires sont multipliées par 16 | k² = 16, donc k = 4 |
| Les volumes sont divisés par 8 | k³ = 1/8, donc k = 1/2 |
Les échelles
L'échelle d'un plan ou d'une carte est le coefficient de réduction.
| L'échelle | Ce qu'elle signifie |
|---|---|
| 1/25 000 | 1 cm sur la carte = 25 000 cm = 250 m en vrai |
| 1/100 | 1 cm sur le plan = 1 m en vrai |
- 4 cm sur une carte au 1/25 000 : 4 × 25 000 = 100 000 cm = 1 km.
- Une voiture de 4,3 m en maquette au 1/43 : 430 cm ÷ 43 = 10 cm.
- Une pièce de 12 m² sur un plan au 1/100 : les aires sont divisées par 100² = 10 000, donc 12 m² = 120 000 cm² deviennent 12 cm².
La pyramide coupée
Une section parallèle à la base découpe une petite pyramide, réduction de la grande. Exemple travaillé : une pyramide de hauteur 12 cm et de volume 240 cm³ est coupée à 6 cm du sommet.
- Coefficient : k = 6 ÷ 12 = 1/2.
- Volume de la petite pyramide : 240 × (1/2)³ = 240 ÷ 8 = 30 cm³.
- Volume du tronc restant : 240 − 30 = 210 cm³.
Au brevet, écrire la phrase « la petite pyramide est une réduction de la grande de coefficient k = … » avant tout calcul : c'est elle qui justifie le k³.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Une figure est agrandie avec k = 3. Par combien son aire est-elle multipliée ?
2.Un solide est réduit avec k = 0,5. Par combien son volume est-il multiplié ?
3.Sur une carte au 1/25 000, deux villages sont à 4 cm. Quelle est la distance réelle ?
4.Une voiture de 4,3 m est reproduite en maquette au 1/43. Quelle est la longueur de la maquette ?
5.Les aires d’une figure ont été multipliées par 16. Par combien ses longueurs l’ont-elles été ?
6.Les volumes d’un solide sont divisés par 8. Quel est le coefficient de réduction ?
0 / 6 questions
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