Mathématiques (voie techno) · Première · Statistiques et probabilités
Épreuves de Bernoulli et variables aléatoires
Répéter, compter, calculer en moyenne.
En bref
Un joueur tire trois pénaltys, une machine produit des pièces conformes ou défectueuses, un jeu rapporte ou coûte de l’argent : on modélise ces situations par des épreuves de Bernoulli et des variables aléatoires.
L’épreuve de Bernoulli
C’est une expérience à deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1 − p).
La loi de Bernoulli de paramètre p : X vaut 1 en cas de succès, 0 sinon. Son espérance est E(X) = p.
Répéter des épreuves identiques et indépendantes
On représente n épreuves (n ≤ 4) par un arbre. Les épreuves étant indépendantes, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
Trois tirs, probabilité de réussite 0,6 :
| Nombre de succès | Nombre de chemins | Probabilité |
|---|---|---|
| 3 | 1 | 0,6³ = 0,216 |
| 2 | 3 | 3 × 0,6² × 0,4 = 0,432 |
| 1 | 3 | 3 × 0,6 × 0,4² = 0,288 |
| 0 | 1 | 0,4³ = 0,064 |
Le total fait bien 1.
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue (un gain, un nombre de succès…). Sa loi donne les probabilités P(X = x_i) ; leur somme vaut 1.
| x_i | −2 | 0 | 10 |
|---|---|---|---|
| P(X = x_i) | 0,5 | 0,3 | 0,2 |
P(X ≤ 0) = 0,5 + 0,3 = 0,8.
L’espérance
E(X) = x_1 × p_1 + x_2 × p_2 + … + x_n × p_n
Ici : E(X) = −2 × 0,5 + 0 × 0,3 + 10 × 0,2 = −1 + 0 + 2 = 1. En jouant un grand nombre de fois, on gagne en moyenne 1 € par partie. Un jeu est équitable si E(X) = 0.
La fluctuation d’échantillonnage
Si l’on simule des échantillons de taille n d’une loi de Bernoulli, la fréquence observée des succès varie d’un échantillon à l’autre, autour de p. Sa dispersion est de l’ordre de 1 ÷ √n.
Pour diviser la dispersion par 2, il faut un échantillon 4 fois plus grand, pas 2 fois : diviser par k demande de multiplier n par k².
Espérance = moyenne à long terme ; elle ne dit pas ce qui arrivera à la prochaine partie.
Exemple travaillé
Une pièce est conforme avec une probabilité 0,9. On en prélève 2, indépendamment. Probabilité qu’exactement une soit défectueuse :
- Deux chemins : (conforme, défectueuse) et (défectueuse, conforme).
- Chacun : 0,9 × 0,1 = 0,09.
- Total : 2 × 0,09 = 0,18.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Une épreuve de Bernoulli a…
2.Deux épreuves indépendantes, succès de probabilité 0,6. Probabilité de deux succès ?
3.Trois épreuves indépendantes, succès de probabilité 0,6. Probabilité de n’avoir aucun succès ?
4.Avec 3 épreuves, combien de chemins de l’arbre comportent exactement 1 succès ?
5.Trois épreuves, p = 0,6. Probabilité d’exactement un succès ?
6.X prend les valeurs −2, 0 et 10 avec les probabilités 0,5 ; 0,3 et 0,2. Combien vaut E(X) ?
0 / 6 questions
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