Mathématiques (voie techno) · Première · Statistiques et probabilités
Séries statistiques à deux variables
Un nuage, un point moyen, une droite.
En bref
La tension aux bornes d’une résistance et l’intensité, les dépenses de publicité et les ventes, l’âge d’un arbre et sa hauteur : quand on relève deux grandeurs sur les mêmes individus, on cherche s’il existe une relation entre elles.
Le nuage de points
Une série à deux variables est une liste de couples (x_i ; y_i). On les représente par un nuage de points dans un repère. Si les points semblent à peu près alignés, on peut chercher une droite qui les résume : c’est un ajustement affine.
Le point moyen
G(x̄ ; ȳ), avec x̄ la moyenne des x_i et ȳ la moyenne des y_i
Exemple : x = 1 ; 2 ; 3 ; 4 et y = 3 ; 5 ; 6 ; 10. Alors x̄ = 10 ÷ 4 = 2,5 et ȳ = 24 ÷ 4 = 6 : G(2,5 ; 6).
Trois façons d’ajuster
| La méthode | Le principe |
|---|---|
| Au jugé | On trace à la règle une droite qui passe « au milieu » du nuage, de préférence par G |
| Méthode de Mayer | On coupe le nuage en deux groupes, on calcule leurs points moyens G1 et G2, la droite passe par G1 et G2 |
| Moindres carrés | La droite y = ax + b qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux, Σ (y_i − (ax_i + b))² ; on l’obtient à la calculatrice ou au tableur |
La droite de Mayer et celle des moindres carrés passent toutes les deux par le point moyen G.
Interpoler, extrapoler
| Ce qu’on fait | Le risque | |
|---|---|---|
| Interpoler | Estimer une valeur à l’intérieur du domaine observé | Faible si le nuage est bien aligné |
| Extrapoler | Prévoir au-delà des données | Élevé : rien ne garantit que la tendance continue |
Un bon ajustement ne prouve pas que x est la cause de y : deux grandeurs peuvent évoluer ensemble sous l’effet d’une troisième.
Un ajustement est un modèle : il résume les données, il ne les remplace pas.
Exemple travaillé (méthode de Mayer)
Avec la série ci-dessus :
- Premier groupe (x = 1 ; 2) : G1(1,5 ; 4). Second groupe (x = 3 ; 4) : G2(3,5 ; 8).
- Coefficient directeur : a = (8 − 4) ÷ (3,5 − 1,5) = 2.
- 4 = 2 × 1,5 + b, donc b = 1 : la droite est y = 2x + 1.
- Contrôle : elle passe par G, car 2 × 2,5 + 1 = 6.
- Extrapolation pour x = 6 : y = 13, estimation à prendre avec prudence.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est le point moyen de la série x : 2 ; 4 ; 6 et y : 10 ; 20 ; 36 ?
2.La méthode des moindres carrés rend minimale…
3.La droite des moindres carrés passe par le point moyen G.
4.Interpoler, c’est estimer une valeur…
5.Pourquoi une extrapolation est-elle risquée ?
6.Avec l’ajustement y = 2x + 1, quelle estimation obtient-on pour x = 6 ?
0 / 6 questions
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