Mathématiques (voie techno) · Première · Statistiques et probabilités
Probabilités conditionnelles et indépendance
Un arbre : on multiplie, puis on ajoute.
En bref
Savoir qu’un événement s’est produit change parfois la probabilité d’un autre.
Savoir qu’un événement s’est produit change parfois la probabilité d’un autre. Savoir qu’un client paie par carte change-t-il la probabilité qu’il achète en ligne ? C’est tout l’objet des probabilités conditionnelles.
La probabilité conditionnelle
Pour un événement A de probabilité non nulle :
P_A(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A)
P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A ». Il en découle :
P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
L’arbre pondéré
| Règle | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Les branches issues d’un même nœud | Ont des probabilités de somme 1 |
| Les branches du second niveau | Portent des probabilités conditionnelles |
| La probabilité d’un chemin | Est le produit des probabilités de ses branches |
La formule des probabilités totales
Si A et son contraire Ā partagent l’univers :
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B)
On additionne les chemins qui mènent à B.
L’indépendance
B est indépendant de A si savoir que A est réalisé ne change rien à la probabilité de B :
P_A(B) = P(B), ce qui équivaut à P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
La relation est symétrique : si B est indépendant de A, alors A est indépendant de B (probabilités non nulles).
Indépendants n’est pas incompatibles : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque P(A ∩ B) = 0 alors que P(A) × P(B) > 0.
Le vocabulaire des tests
Pour un test de dépistage : un faux positif est un test positif chez une personne non malade ; un faux négatif, un test négatif chez une personne malade. La sensibilité est P_malade(positif) et la spécificité P_non malade(négatif).
Dans un arbre : on multiplie le long d’un chemin, on additionne entre les chemins.
Exemple travaillé
60 % des clients d’un magasin paient par carte (C). Parmi eux, 30 % achètent en ligne (L) ; parmi les autres, 10 %.
- Arbre : P(C) = 0,6 ; P_C(L) = 0,3 ; P(C̄) = 0,4 ; P_C̄(L) = 0,1.
- P(C ∩ L) = 0,6 × 0,3 = 0,18 et P(C̄ ∩ L) = 0,4 × 0,1 = 0,04.
- Probabilités totales : P(L) = 0,18 + 0,04 = 0,22.
- P_L(C) = 0,18 ÷ 0,22 = 9/11 ≈ 0,82.
- P_C(L) = 0,3 ≠ P(L) = 0,22 : les événements ne sont pas indépendants.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.P(A) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2. Combien vaut P_A(B) ?
2.P(A) = 0,6 et P_A(B) = 0,3. Combien vaut P(A ∩ B) ?
3.P(C ∩ L) = 0,18 et P(C̄ ∩ L) = 0,04. Combien vaut P(L) ?
4.Que vaut la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud ?
5.Si P(A) = 0,6, combien vaut P(Ā) ?
6.A et B sont indépendants si…
0 / 6 questions
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