Physique-chimie et mathématiques (STI2D · STL) · Première · Mathématiques — Nombres complexes
Nombres complexes
Un nombre, deux coordonnées.
En bref
Les nombres complexes étendent les réels avec un nombre i tel que i² = −1.
Les nombres complexes étendent les réels avec un nombre i tel que i² = −1. En électricité, ils permettent de manipuler les tensions et courants sinusoïdaux comme de simples nombres.
La forme algébrique
Tout nombre complexe s’écrit de façon unique :
z = a + i b (a et b réels)
| Le terme | Nom |
|---|---|
| a = Re(z) | Partie réelle |
| b = Im(z) | Partie imaginaire |
Si b = 0, z est réel ; si a = 0, z est imaginaire pur.
Opérations
On calcule comme avec des réels, en remplaçant i² par −1.
- (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i
- (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i
Le conjugué
Conjugué de z = a + i b : z̄ = a − i b
z × z̄ = a² + b² (un réel positif)
Il sert à diviser : on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Exemple : (1 + 2i) / (1 − i) = (1 + 2i)(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (1 + i + 2i + 2i²) / 2 = (−1 + 3i) / 2 = −0,5 + 1,5i.
Représentation géométrique
Dans un repère orthonormé, z = a + i b est représenté par le point M(a ; b), ou le vecteur OM. On dit que M a pour affixe z.
- Le conjugué z̄ est le symétrique de M par rapport à l’axe des réels.
Module et argument
Module : |z| = √(a² + b²) = OM
Argument : arg(z) = θ, angle orienté entre l’axe des réels et OM (défini à 2π près)
cos θ = a / |z| et sin θ = b / |z|
La forme trigonométrique
z = r (cos θ + i sin θ) avec r = |z|
Exemple : z = 1 + i. |z| = √2 ; cos θ = 1/√2 = √2/2 et sin θ = √2/2, donc θ = π/4.
z = √2 (cos π/4 + i sin π/4).
Exemple : z = −2i. |z| = 2, θ = −π/2 : z = 2 (cos(−π/2) + i sin(−π/2)).
Passer d’une forme à l’autre
- Trigonométrique → algébrique : a = r cos θ, b = r sin θ. Ainsi 4 (cos π/3 + i sin π/3) = 4 × 0,5 + i × 4 × √3/2 = 2 + 2√3 i.
- Algébrique → trigonométrique : calculer r, puis θ par son cosinus et son sinus (en regardant le signe de a et b pour placer le point).
Et en physique ?
Une tension sinusoïdale d’amplitude U et de phase φ peut être associée au complexe de module U et d’argument φ. Additionner deux tensions de même fréquence revient à additionner deux complexes — c’est bien plus simple qu’additionner deux cosinus. La notation exponentielle, qui rend les produits encore plus simples, est vue en terminale.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que vaut i² ?
2.Quelle est la partie imaginaire de z = 4 − 7i ?
3.Que vaut (2 + 3i) + (1 − i) ?
4.Que vaut (2 + 3i)(1 − i) ?
5.Quel est le conjugué de 3 + 5i ?
6.Que vaut z × z̄ pour z = 3 + 4i ?
0 / 6 questions
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