Maths expertes · Terminale · Graphes et matrices
Chaînes de Markov
L’avenir ne dépend que du présent.
En bref
Une chaîne de Markov modélise un système qui passe d’un état à un autre au hasard, et dont l’avenir ne dépend que de l’état actuel — jamais du chemin parcouru pour y arriver.
La propriété de Markov
La probabilité de l’état suivant ne dépend que de l’état présent : le processus est « sans mémoire ».
Cette hypothèse doit être discutée dans une modélisation : raisonnable pour un déplacement aléatoire, plus discutable pour une fidélité de clientèle, où l’ancienneté joue.
Le graphe probabiliste
Les sommets sont les états, les arcs portent les probabilités de transition.
La somme des probabilités des arcs sortant d’un même sommet vaut nécessairement 1 : le système est forcément quelque part à l’étape suivante.
La matrice de transition
Le coefficient (i ; j) de T est la probabilité de passer de l’état i à l’état j. Chacune de ses lignes est donc une distribution de probabilité : coefficients positifs, de somme 1. Une telle matrice est dite stochastique.
La convention ligne/colonne doit être fixée dès le début et tenue : selon qu’on écrit les distributions en ligne ou en colonne, le produit se fait à droite ou à gauche. Les mélanger en cours d’exercice est l’erreur la plus fréquente.
L’évolution
Avec les distributions écrites en ligne :
P(n+1) = P(n) × T, donc P(n) = P(0) × Tⁿ
Le coefficient (i ; j) de Tⁿ est la probabilité d’être en j au bout de n étapes en partant de i.
L’état stable
Une distribution π est stable si π × T = π.
C’est un système linéaire, auquel on ajoute la condition que la somme des composantes de π vaut 1. Sans elle, le système admet une infinité de solutions proportionnelles.
La convergence
| La condition sur T | La conclusion |
|---|---|
| Aucun coefficient nul — ou une puissance de T sans coefficient nul | P(n) converge vers l’unique état stable π |
| — | Et cette limite ne dépend pas de la distribution initiale |
C’est le résultat que les exercices font conclure : à long terme, la répartition s’installe et oublie d’où elle vient.
Les applications
Fidélité à une marque et parts de marché, météo à deux ou trois états, déplacements aléatoires, files d’attente, génétique des populations — et le classement des pages web par la marche aléatoire d’un internaute, principe originel de Google.
Deux vérifications closent tout exercice : chaque ligne de T somme-t-elle à 1, et la somme des composantes de π vaut-elle 1 ? Si l’une échoue, le calcul est faux.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que dit la propriété de Markov ?
2.Que vaut la somme des coefficients d’une ligne de la matrice de transition ?
3.Que représente le coefficient (i ; j) de Tⁿ ?
4.Comment caractérise-t-on un état stable π ?
5.Quand la distribution converge-t-elle vers l’unique état stable ?
6.La limite d’une chaîne de Markov convergente dépend de la distribution initiale.
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Chaînes de Markov » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
