Maths expertes · Terminale · Graphes et matrices
Suites de matrices colonnes
Deux suites qui s’entraînent.
En bref
Quand deux suites sont définies l’une par l’autre, les traiter séparément est impossible.
Quand deux suites sont définies l’une par l’autre, les traiter séparément est impossible. Les écrire en colonne les rend calculables d’un seul geste.
Le principe
Deux suites u(n) et v(n) liées par un système de récurrence se rassemblent dans une matrice colonne U(n) de composantes u(n) et v(n). Le système s’écrit alors :
U(n+1) = A U(n), où A contient les coefficients du système
La forme explicite
Par récurrence immédiate : U(n) = Aⁿ U(0)
Tout le problème se ramène donc au calcul de Aⁿ.
| Méthode | Ce qu’elle demande |
|---|---|
| Conjecture et récurrence | Deviner la forme sur les premières puissances, puis la démontrer |
| Diagonalisation | L’énoncé fournit P inversible et D diagonale : Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹ |
Le cas affine
Quand le système comporte un terme constant : U(n+1) = A U(n) + B.
- Chercher l’état stable C, solution de C = A C + B — il vaut (I − A)⁻¹ B lorsque I − A est inversible ;
- Poser V(n) = U(n) − C : la suite V vérifie V(n+1) = A V(n), sans terme constant ;
- Conclure : U(n) = Aⁿ (U(0) − C) + C.
C’est exactement la méthode de la suite arithmético-géométrique réelle : seule la nature des objets change.
Le comportement à l’infini
Il se lit sur les puissances de A.
| Si… | Alors |
|---|---|
| Aⁿ converge vers une matrice L | U(n) converge vers L U(0) |
| Aⁿ tend vers la matrice nulle (cas affine) | U(n) converge vers l’état stable C |
Le point décisif pour l’interprétation : quand un modèle admet un état stable attractif, la répartition finale ne dépend pas de la répartition de départ.
Les modèles décrits
| Situation | Ce que les états représentent |
|---|---|
| Répartition entre deux ou trois états | Abonnés et non-abonnés, migrations entre villes, parts de marché |
| Suites imbriquées | Dynamique de populations |
| Cheminement dans un graphe pondéré par des probabilités | Cela mène directement aux chaînes de Markov |
La lecture d’un énoncé
Il fournit presque toujours : le système en français, la matrice A à écrire, une matrice P de changement de base, et une question finale d’interprétation.
La rédaction attendue suit cet ordre — et l’interprétation vaut autant de points que le calcul.
Le calcul matriciel ne fait rien de neuf : il factorise un raisonnement qu’on saurait mener suite par suite. Son intérêt est de rendre le cas à trois états aussi simple que le cas à deux.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Comment s’écrit un système de deux suites récurrentes couplées ?
2.Quelle est la forme explicite de U(n) ?
3.Comment traite-t-on le cas U(n+1) = A U(n) + B ?
4.Que vaut l’état stable C dans le cas affine ?
5.Si Aⁿ tend vers la matrice nulle dans un modèle affine, vers quoi converge U(n) ?
6.Comment calcule-t-on Aⁿ quand une diagonalisation est fournie ?
0 / 6 questions
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