Maths expertes · Terminale · Graphes et matrices
Calcul matriciel
Un tableau de nombres qu’on multiplie.
En bref
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres.
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Son intérêt vient de ce qu’on peut la multiplier — et que ce produit code une composition d’opérations.
Vocabulaire
Une matrice de taille n × p a n lignes et p colonnes ; le coefficient ligne i, colonne j se note a(i,j).
| Nom | Sa forme |
|---|---|
| Carrée | n = p |
| Colonne | p = 1 |
| Ligne | n = 1 |
Les opérations simples
Somme et produit par un réel se font coefficient par coefficient, entre matrices de même taille.
Le produit matriciel
Il n’est défini que si le nombre de colonnes de A égale le nombre de lignes de B. Si A est n × p et B est p × q, alors A × B est n × q.
Le coefficient (i ; j) s’obtient en parcourant la ligne i de A et la colonne j de B, en multipliant terme à terme et en additionnant.
| Ce qui change par rapport aux réels | Ce que ça implique |
|---|---|
| Le produit n’est pas commutatif | A B et B A diffèrent en général, et l’un peut exister sans l’autre |
| Un produit peut être nul | Sans qu’aucun facteur le soit |
C’est l’erreur la plus coûteuse du chapitre : simplifier sans regarder de quel côté on multiplie.
L’identité et l’inverse
La matrice I(n) — des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs — vérifie A I = I A = A : elle joue le rôle du nombre 1.
A est inversible s’il existe B telle que A B = B A = I. Toutes les matrices carrées ne le sont pas.
| Pour une matrice 2 × 2 de coefficients a, b, c, d | La règle |
|---|---|
| Le déterminant | ad − bc |
| Elle est inversible | Si et seulement si ce déterminant est non nul |
| Son inverse | Échanger a et d, changer le signe de b et c, diviser par le déterminant |
Les puissances
| Méthode | Quand l’employer |
|---|---|
| Par récurrence | Quand une forme se conjecture sur les premières puissances |
| Par diagonalisation | Quand l’énoncé fournit P et D diagonale telles que A = P D P⁻¹ |
Alors Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹, et Dⁿ se calcule en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance n. C’est la méthode attendue au bac.
Les systèmes linéaires
Un système de n équations à n inconnues s’écrit A X = B.
| Si A est… | Le système |
|---|---|
| Inversible | A une solution unique : X = A⁻¹ B |
| Non inversible | A une infinité de solutions, ou aucune |
Avant chaque simplification, vérifier de quel côté on multiplie. Ce seul réflexe distingue une copie juste d’une copie fausse.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quand le produit A × B est-il défini ?
2.Le produit matriciel est-il commutatif ?
3.Quand une matrice 2 × 2 est-elle inversible ?
4.Quel rôle joue la matrice identité ?
5.Comment calcule-t-on Aⁿ quand A = P D P⁻¹ avec D diagonale ?
6.Un produit de deux matrices peut-il être nul sans qu’aucune ne le soit ?
0 / 6 questions
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