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PGCD, théorèmes de Bézout et de Gauss
Bézout prouve, Gauss conclut.
En bref
Le PGCD gouverne toute la question de la simplification et de la résolution des équations en nombres entiers.
Le PGCD
Le plus grand entier qui divise a et b. Deux entiers sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1.
« Premiers entre eux » ne signifie pas « nombres premiers » : 8 et 9 sont premiers entre eux, et ni l’un ni l’autre n’est premier.
L’algorithme d’Euclide
Il repose sur une égalité simple : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r), où r est le reste de la division de a par b. On répète jusqu’à un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD.
| Étape | Le calcul |
|---|---|
| 1 | 1071 = 2 × 462 + 147 |
| 2 | 462 = 3 × 147 + 21 |
| 3 | 147 = 7 × 21 + 0 |
| Conclusion | Le PGCD vaut 21 |
Algorithme très rapide : le nombre d’étapes croît comme le logarithme des données.
Bézout
| Énoncé | Ce qu’il affirme |
|---|---|
| Identité de Bézout | Il existe toujours u et v entiers tels que a u + b v = PGCD(a ; b) |
| Théorème de Bézout | a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u et v tels que a u + b v = 1 |
Le sens « s’il existe u et v, alors le PGCD vaut 1 » est le plus utile : exhiber un seul couple suffit à prouver que deux entiers sont premiers entre eux. Les coefficients se calculent en remontant l’algorithme d’Euclide.
Gauss
Si a divise b c et si a est premier avec b, alors a divise c.
L’hypothèse de primalité est indispensable : 6 divise 4 × 3 sans diviser ni 4 ni 3.
Corollaire : si b et c divisent a et sont premiers entre eux, alors leur produit b c divise a.
Les équations diophantiennes
Une équation a x + b y = c en nombres entiers admet des solutions si et seulement si le PGCD de a et b divise c.
| Étape | Ce qu’on fait |
|---|---|
| 1 | Calculer le PGCD et vérifier la condition |
| 2 | Trouver une solution particulière — Euclide remonté, ou à vue |
| 3 | Soustraire l’équation particulière de l’équation générale |
| 4 | Conclure par le théorème de Gauss pour la forme générale |
Le PPCM
Le produit du PGCD et du PPCM de a et b égale la valeur absolue du produit a b. Connaître l’un donne donc l’autre.
Bézout sert à prouver qu’on est premier entre eux ; Gauss sert à conclure qu’un facteur divise. Confondre leurs rôles est l’erreur la plus fréquente en démonstration.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que dit le théorème de Bézout ?
2.Que dit le théorème de Gauss ?
3.Sur quelle égalité repose l’algorithme d’Euclide ?
4.« Premiers entre eux » signifie-t-il que les deux nombres sont premiers ?
5.Quand l’équation a x + b y = c admet-elle des solutions entières ?
6.Comment obtient-on les coefficients de Bézout ?
0 / 6 questions
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