Maths expertes · Terminale · Arithmétique
Nombres premiers et petit théorème de Fermat
Les briques de tous les entiers.
En bref
Les nombres premiers sont aux entiers ce que les atomes sont à la matière : tout se décompose sur eux, d’une seule façon.
La définition
Un entier p supérieur ou égal à 2 est premier s’il n’admet que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.
| Cas particulier | Pourquoi |
|---|---|
| 1 n’est pas premier | Il n’a qu’un seul diviseur — et l’exclure est nécessaire à l’unicité de la décomposition |
| 2 | Le seul nombre premier pair |
Le théorème fondamental de l’arithmétique
Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers, et cette décomposition est unique à l’ordre près.
| Ce qu’on lit sur la décomposition | Comment |
|---|---|
| Le nombre de diviseurs | Le produit des exposants augmentés de 1 |
| Le PGCD | Les facteurs communs, aux plus petits exposants |
| Le PPCM | Tous les facteurs, aux plus grands exposants |
Le crible d’Ératosthène
On écrit les entiers de 2 à n et l’on raye les multiples de chaque premier trouvé. On peut s’arrêter dès que le premier courant dépasse √n.
Corollaire pratique : pour tester si n est premier, il suffit d’essayer les diviseurs jusqu’à √n. Si n n’est pas premier, il a nécessairement un diviseur inférieur ou égal à √n — sans quoi le produit des deux facteurs dépasserait n.
L’infinité des nombres premiers
Euclide, par l’absurde : s’il n’y en avait qu’un nombre fini, l’entier obtenu en multipliant tous ces premiers et en ajoutant 1 ne serait divisible par aucun d’eux — il laisserait toujours le reste 1. Il serait donc premier, ou aurait un facteur premier nouveau. Contradiction.
Le petit théorème de Fermat
| Forme | Son énoncé |
|---|---|
| Restreinte | Si p est premier et a non divisible par p, alors a^(p−1) ≡ 1 [p] |
| Générale | Pour tout entier a : a^p ≡ a [p] |
Pour trouver 2^100 modulo 7 : le théorème donne 2⁶ ≡ 1 [7], et 100 = 6 × 16 + 4, donc 2^100 ≡ 2⁴ ≡ 2 [7].
L’hypothèse « p premier » est indispensable : le théorème est faux pour un modulo composé.
Les usages
| Usage | Le principe |
|---|---|
| Restes de grandes puissances | Réduire l’exposant modulo p−1 |
| Tests de primalité probabilistes | La contraposée : si a^(n−1) n’est pas congru à 1 modulo n, alors n n’est pas premier |
| Cryptographie RSA | Multiplier deux grands premiers est immédiat ; factoriser leur produit est hors de portée |
Le théorème ne dit rien quand a^(n−1) ≡ 1 [n] : certains nombres composés passent le test. Il permet d’affirmer qu’un nombre n’est pas premier, jamais qu’il l’est.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ?
2.Que dit le petit théorème de Fermat ?
3.Jusqu’à quelle valeur faut-il tester les diviseurs pour savoir si n est premier ?
4.Que dit le théorème fondamental de l’arithmétique ?
5.Comment Euclide démontre-t-il l’infinité des nombres premiers ?
6.Le petit théorème de Fermat reste-t-il vrai pour un modulo composé ?
0 / 6 questions
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