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Divisibilité et congruences dans Z
Raisonner sur les restes.
En bref
L’arithmétique étudie les entiers pour eux-mêmes.
L’arithmétique étudie les entiers pour eux-mêmes. Son outil central, la congruence, permet de remplacer un nombre par son reste — et de traiter en une ligne des calculs impossibles autrement.
La divisibilité
b divise a s’il existe un entier k tel que a = b k.
| Propriété | Ce qu’elle dit |
|---|---|
| Tout entier divise 0 | — |
| 1 divise tout entier | — |
| Transitivité | Si b divise a et a divise c, alors b divise c |
| Combinaison linéaire | Si b divise a et a′, alors b divise u a + v a′ |
La dernière est la propriété la plus utilisée en démonstration.
La division euclidienne
Pour a relatif et b naturel non nul, il existe un unique couple (q ; r) tel que a = b q + r, avec r compris entre 0 inclus et b exclu.
L’encadrement strict du reste est ce qui assure l’unicité. L’oublier est l’erreur classique, surtout pour a négatif : diviser −7 par 3 donne q = −3 et r = 2, et non q = −2 et r = −1.
Les congruences
a et b sont congrus modulo n si n divise a − b. On note a ≡ b [n].
C’est équivalent à : a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.
Les règles de calcul
| Opération | Est-elle compatible ? |
|---|---|
| Addition | Oui |
| Multiplication | Oui |
| Puissances | Oui |
| Division | NON |
De 6 ≡ 12 [6] on ne peut pas déduire 3 ≡ 6 [6], qui est faux. Simplifier une congruence exige des précautions liées au PGCD.
La méthode des puissances
Pour trouver le reste de 3^2026 modulo 7, on calcule les premières puissances de 3 : 3, 2, 6, 4, 5, 1 — puis le cycle recommence, de période 6.
Comme 2026 = 6 × 337 + 4, on a 3^2026 ≡ 3⁴ ≡ 4 [7].
Chercher la périodicité est la méthode systématique de tout exercice de ce type.
Les critères de divisibilité
| Le point de départ | Le critère obtenu |
|---|---|
| 10 ≡ 1 [9] | Un nombre est congru à la somme de ses chiffres modulo 9 — d’où la « preuve par neuf » |
| 10 ≡ −1 [11] | Le critère par 11, en somme alternée |
Travailler modulo n, c’est ne garder d’un entier que son reste. Toute la difficulté d’un exercice consiste à choisir le bon modulo.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que signifie a ≡ b [n] ?
2.Quelle condition assure l’unicité du couple (q ; r) dans la division euclidienne ?
3.Quel est le reste de la division euclidienne de −7 par 3 ?
4.Les congruences sont-elles compatibles avec la division ?
5.Si b divise a et a′, que divise-t-il aussi ?
6.Comment détermine-t-on le reste d’une grande puissance modulo n ?
0 / 6 questions
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