Mathématiques (voie techno) · Terminale · Automatismes
Automatismes : calcul, dérivée et lectures graphiques
Dériver, lire une pente, trouver un signe.
En bref
Aux automatismes de première s’ajoutent en terminale quelques gestes qui doivent devenir immédiats : dériver un polynôme, lire une pente, deviner un signe d’après une parabole.
Dériver un polynôme de degré au plus 3
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| k | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
On dérive terme à terme : f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 1 donne f′(x) = 6x² − 10x + 4.
Le coefficient directeur de la tangente
Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est f′(a). Pour f(x) = x³ − 2x en a = 1 : f′(x) = 3x² − 2, donc f′(1) = 1.
Graphiquement : on choisit deux points bien lisibles de la tangente tracée et on calcule (yB − yA) ÷ (xB − xA).
Le signe par l’image mentale d’une parabole
Pour a(x − x1)(x − x2), on imagine la parabole : ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0, coupant l’axe en x1 et x2.
| Expression | Image mentale | Négative sur… |
|---|---|---|
| (x − 1)(x − 3) | Ouverte vers le haut | ]1 ; 3[ |
| −2(x − 1)(x − 3) | Ouverte vers le bas | ]−∞ ; 1[ et ]3 ; +∞[ |
Factoriser des différences de carrés
a² − b² = (a − b)(a + b)
x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ; 4x² − 25 = (2x − 5)(2x + 5) ; x² − k² = (x − k)(x + k).
Autres réflexes
- Résoudre ax + b = 0, x² = a (deux solutions si a > 0, aucune si a < 0).
- Isoler une variable : P = U × I donne I = P ÷ U.
- Écriture scientifique : 0,000 32 = 3,2 × 10^(−4).
- Puissances : 10³ × 10^(−5) = 10^(−2) ; (2³)² = 2⁶.
Multiplier une inégalité par un nombre négatif en change le sens.
Le signe de la dérivée donne les variations ; sa valeur en a donne la pente de la tangente.
Exemple travaillé
f(x) = x³ − 3x² sur les réels.
- f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2).
- Image mentale : parabole ouverte vers le haut, qui coupe l’axe en 0 et 2 ; f′ est négative sur ]0 ; 2[, positive ailleurs.
- f est décroissante sur [0 ; 2], croissante ailleurs.
- Tangente en 1 : f′(1) = 3 − 6 = −3 ; la courbe descend en ce point.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de f(x) = 2x³ − 5x² + 4x − 1 ?
2.Pour f(x) = x³ − 2x, que vaut le coefficient directeur de la tangente en 1 ?
3.Sur quel intervalle (x − 1)(x − 3) est-elle négative ?
4.−2(x − 1)(x − 3) est positive…
5.Quelle est la forme factorisée de 4x² − 25 ?
6.Dans P = U × I, comment exprimer I ?
0 / 6 questions
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