Mathématiques (voie techno) · Terminale · Analyse
Suites arithmétiques : terme général et somme
On ajoute toujours la même quantité.
En bref
Une suite arithmétique ajoute toujours la même quantité, la raison r.
Une suite arithmétique ajoute toujours la même quantité, la raison r. En terminale, on sait calculer n’importe quel terme directement, et additionner des termes consécutifs sans les écrire tous.
Le terme général
u(n) = u(0) + n × r
u(n) = u(1) + (n − 1) × r
Exemple : u(0) = 12 et r = −1,5 donne u(8) = 12 − 12 = 0.
Trois nombres consécutifs
a, b, c sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique si et seulement si b − a = c − b, c’est-à-dire si b est la moyenne arithmétique de a et c :
b = (a + c) ÷ 2
5 ; 8 ; 11 conviennent car (5 + 11) ÷ 2 = 8. En revanche 2 ; 5 ; 9 ne conviennent pas : les écarts 3 et 4 sont différents.
La somme des termes consécutifs
somme = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) ÷ 2
| Somme | Nombre de termes | Calcul | Résultat |
|---|---|---|---|
| 1 + 2 + … + 100 | 100 | 100 × 101 ÷ 2 | 5 050 |
| u(0) + … + u(9) avec u(n) = 3 + 2n | 10 | 10 × (3 + 21) ÷ 2 | 120 |
En particulier : 1 + 2 + … + n = n(n + 1) ÷ 2.
Le nombre de termes de u(0) à u(n) est n + 1, pas n : on compte le terme de rang 0.
La notation Σ
La somme u(0) + u(1) + … + u(n) s’écrit Σ u(k) pour k allant de 0 à n. Σ (la lettre grecque sigma majuscule) se lit « somme ». Exemple : Σ k pour k de 1 à 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Croissance linéaire
Une suite arithmétique modélise une croissance linéaire : ses points (n ; u(n)) sont alignés. C’est le modèle des intérêts simples : 1 000 € placés à 3 % d’intérêts simples rapportent 30 € chaque année, et la valeur acquise après n années est u(n) = 1 000 + 30n.
Somme de termes arithmétiques : on apparie le premier et le dernier, le deuxième et l’avant-dernier… chaque paire a la même valeur.
Exemple travaillé
Un club compte 40 adhérents la première année et en gagne 6 chaque année. Combien d’adhésions au total sur 10 ans ?
- u(1) = 40, r = 6, donc u(10) = 40 + 9 × 6 = 94.
- Somme de 10 termes : 10 × (40 + 94) ÷ 2 = 670 adhésions.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.u(0) = 12 et r = −1,5. Combien vaut u(8) ?
2.5 ; 8 ; 11 sont-ils trois termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
3.Combien vaut 1 + 2 + … + 100 ?
4.Combien de termes compte la somme u(0) + u(1) + … + u(20) ?
5.u(n) = 3 + 2n. Combien vaut u(0) + u(1) + … + u(9) ?
6.Que vaut Σ k pour k allant de 1 à 4 ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Suites arithmétiques » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
