Maths · Terminale · Probabilités
Loi des grands nombres et concentration
La moyenne finit par dire la vérité.
En bref
Ce dernier chapitre démontre ce que l’intuition affirme depuis la Seconde : quand on répète beaucoup, la fréquence observée s’approche de la probabilité théorique.
Les deux inégalités
| Inégalité | Son énoncé | Ce qu’elle utilise |
|---|---|---|
| Markov | P(X supérieur ou égal à a) inférieur ou égal à E(X)/a, pour X positive | L’espérance seule |
| Bienaymé-Tchebychev | P(l’écart à μ dépasse δ) inférieur ou égal à V/δ² | L’espérance et la variance |
Markov : une variable positive ne peut pas dépasser souvent une valeur bien supérieure à sa moyenne. Très générale — donc très peu précise.
Bienaymé-Tchebychev vaut pour n’importe quelle loi : c’est sa force. Sa faiblesse est d’être grossière — la majoration dépasse souvent de loin la probabilité réelle. Elle sert à garantir, pas à estimer finement.
L’inégalité de concentration
Appliquée à la moyenne empirique M d’un échantillon de taille n, dont on sait que V(M) = σ²/n :
P(l’écart entre M et μ dépasse δ) inférieur ou égal à σ² / (n δ²)
Le majorant contient n au dénominateur : il tend vers 0 quand n grandit, pour tout δ fixé.
La loi des grands nombres
C’en est la conséquence directe : pour tout δ > 0, la probabilité que M s’écarte de μ d’au moins δ tend vers 0.
La moyenne empirique se concentre autour de l’espérance quand la taille de l’échantillon augmente. Dans le cas d’une loi de Bernoulli, μ = p et M est la fréquence observée : la fréquence tend vers la probabilité. C’est la justification théorique de tout ce qui était admis depuis le collège.
Ce que la loi ne dit pas
Elle ne dit rien sur une répétition particulière.
Après dix « pile » consécutifs, la probabilité du prochain lancer reste 1/2 : la pièce n’a pas de mémoire. La convergence porte sur la moyenne, pas sur une compensation des écarts passés — croire l’inverse est l’erreur du joueur.
L’usage pratique : dimensionner un sondage
L’inégalité de concentration donne un n suffisant pour garantir une précision donnée avec un risque donné.
Pour une proportion, σ² = p(1 − p) est majorée par 1/4 : on obtient un majorant utilisable même sans connaître p. C’est ce qui rend le dimensionnement possible avant d’avoir mené l’enquête.
La loi des grands nombres est le pont entre le calcul des probabilités et la statistique : elle autorise à estimer un paramètre inconnu à partir d’un échantillon, et à dire de combien on peut se tromper.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que dit l’inégalité de Markov ?
2.Que majore l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
3.L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev suppose-t-elle une loi particulière ?
4.Que devient le majorant de P(|M − μ| ≥ δ) quand n augmente ?
5.Que dit la loi des grands nombres ?
6.Après dix « pile » consécutifs, la probabilité de « face » au lancer suivant augmente.
0 / 6 questions
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