Maths · Terminale · Probabilités
Sommes de variables aléatoires
Espérance : toujours additive.
En bref
Additionner des variables aléatoires est l’opération centrale de la fin du programme : c’est elle qui mène à la loi des grands nombres et à la notion d’échantillon.
Les rappels
| Indicateur | Sa formule | Ce qu’il dit |
|---|---|---|
| Espérance | E(X) = somme des p(i) x(i) | La valeur moyenne sur un grand nombre de répétitions |
| Variance | V(X) = E(X²) − E(X)² | La dispersion autour de l’espérance |
| Écart-type | σ(X) = √V(X) | La même chose, dans la même unité que X |
Ce qui s’additionne, ce qui ne s’additionne pas
| Espérance | Variance | |
|---|---|---|
| Transformation affine | E(aX + b) = a E(X) + b | V(aX + b) = a² V(X) — le b disparaît |
| Somme de deux variables | E(X + Y) = E(X) + E(Y), toujours | V(X + Y) = V(X) + V(Y), seulement si indépendantes |
L’espérance est toujours additive, même sans indépendance : le programme y insiste. La variance, non — et c’est l’erreur la plus sanctionnée du chapitre.
Ajouter une constante décale la distribution sans changer sa dispersion : d’où la disparition de b dans la variance.
L’échantillon
Une liste de n variables indépendantes et de même loi, d’espérance μ et d’écart-type σ. On pose S la somme et M = S/n la moyenne empirique.
| Grandeur | Son espérance | Son écart-type |
|---|---|---|
| La somme S | n μ | σ √n |
| La moyenne M | μ | σ/√n |
Ce que dit la formule en √n
| Conséquence | Ce qu’elle signifie |
|---|---|
| E(M) = μ | La moyenne empirique ne se trompe pas systématiquement : elle est sans biais |
| σ(M) = σ/√n | Sa dispersion décroît, mais lentement |
Diviser l’écart-type par 2 exige de quadrupler la taille de l’échantillon. C’est ce qui rend les sondages coûteux.
Le cas de la loi binomiale
Une variable de loi B(n ; p) est exactement la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de paramètre p.
On retrouve immédiatement E = n p et V = n p (1 − p) : la formule binomiale n’est qu’un cas particulier de ce chapitre.
Espérance : additive toujours. Variance : additive seulement sous indépendance. Ces deux lignes suffisent à traiter la moitié des questions.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.L’égalité E(X + Y) = E(X) + E(Y) exige-t-elle l’indépendance ?
2.Que vaut V(aX + b) ?
3.Sous quelle condition a-t-on V(X + Y) = V(X) + V(Y) ?
4.Que vaut l’écart-type de la moyenne empirique d’un échantillon de taille n ?
5.Que vaut l’espérance de la moyenne empirique d’un échantillon ?
6.Pour diviser par deux l’écart-type de la moyenne empirique, il faut…
0 / 6 questions
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