Maths · Terminale · Probabilités
Succession d’épreuves indépendantes, lois de Bernoulli et binomiale
Répéter n fois, de façon indépendante.
En bref
Presque toute la probabilité de Terminale se ramène à un schéma unique : répéter n fois, de façon indépendante, une expérience à deux issues.
L’épreuve de Bernoulli
Deux issues : le succès, de probabilité p, et l’échec, de probabilité 1 − p. La variable X vaut 1 en cas de succès, 0 sinon.
E(X) = p, V(X) = p(1 − p)
La succession d’épreuves indépendantes
Elle se représente par un arbre pondéré, dont la lecture obéit à deux règles :
| Objet | Sa probabilité |
|---|---|
| Un chemin | Le produit des probabilités portées par ses branches |
| Un événement | La somme des probabilités des chemins qui le réalisent |
L’indépendance est l’hypothèse cruciale : c’est elle qui autorise à multiplier. Un tirage avec remise la garantit ; un tirage sans remise ne la garantit pas — sauf si la population est très grande devant l’échantillon.
La loi binomiale
X compte le nombre de succès sur n épreuves identiques et indépendantes. X suit B(n ; p) :
P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1 − p)^(n−k)
| Le facteur | Ce qu’il compte |
|---|---|
| p^k | Les k succès |
| (1 − p)^(n−k) | Les échecs |
| C(n,k) | Le nombre de chemins réalisant exactement k succès |
C’est ici que sert le dénombrement du premier chapitre.
Espérance, variance, écart-type
E(X) = n p, V(X) = n p (1 − p), σ(X) = √(n p (1 − p))
L’espérance se retient sans calcul : sur 100 lancers d’une pièce équilibrée, on attend 50 piles.
Les trois conditions à vérifier
Épreuves identiques, indépendantes, à deux issues seulement.
Un énoncé de bac teste presque toujours l’une des trois — le plus souvent l’indépendance, par un tirage sans remise.
Le calcul pratique
| La question | Le calcul |
|---|---|
| P(X = k) | Formule directe |
| P(X inférieur ou égal à k) | À la calculatrice, fonction de répartition |
| P(X supérieur ou égal à k) | 1 − P(X inférieur ou égal à k − 1) — l’automatisme à acquérir |
| Un seuil | Le plus petit k tel que P(X inférieur ou égal à k) dépasse une valeur donnée |
La loi binomiale ne compte que des succès, jamais leur ordre. Si la question porte sur l’ordre d’apparition, on revient à l’arbre.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’une épreuve de Bernoulli ?
2.Que compte une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n ; p) ?
3.Quelle est l’expression de P(X = k) pour X suivant B(n ; p) ?
4.Que vaut l’espérance d’une variable suivant B(n ; p) ?
5.Que vaut la variance d’une loi binomiale B(n ; p) ?
6.Un tirage sans remise dans une petite population donne des épreuves indépendantes.
0 / 6 questions
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