Sciences de l'ingénieur · Terminale · Résistance des matériaux
La flexion simple des poutres
La hauteur compte au cube.
En bref
Pose une règle à plat sur deux livres et appuie : elle plie.
Pose une règle à plat sur deux livres et appuie : elle plie. Pose-la sur la tranche : elle ne bouge presque plus. Même matière, même section, et pourtant un comportement très différent. La flexion explique pourquoi.
Ce qui se passe dans une poutre fléchie
Une poutre soumise à des charges perpendiculaires à son axe se courbe. Ses fibres ne travaillent pas toutes de la même façon :
| Zone | Pour une poutre sur deux appuis chargée vers le bas |
|---|---|
| Fibres du haut | Comprimées |
| Fibre neutre | Ni tendue ni comprimée : contrainte nulle |
| Fibres du bas | Tendues |
La contrainte est nulle sur la fibre neutre et maximale sur les fibres extrêmes.
Le moment fléchissant et la contrainte
L’effet des charges dans une section s’appelle le moment fléchissant Mf. La contrainte maximale vaut :
σ_max = Mf × v / I
v est la distance de la fibre neutre à la fibre la plus éloignée, I le moment quadratique de la section (en mm⁴).
| Section | Moment quadratique I |
|---|---|
| Rectangle, base b, hauteur h (fléchi dans le sens de h) | b × h³ / 12 |
La hauteur compte au cube. Tourner une planche sur chant multiplie I par le carré du rapport hauteur / largeur : c’est tout le secret des poutres en I, qui placent la matière loin de la fibre neutre, là où elle travaille.
La flèche
La flèche est le déplacement maximal de la poutre. Deux cas à connaître :
| Cas | Moment fléchissant maximal | Flèche maximale |
|---|---|---|
| Deux appuis simples, charge F au milieu, portée L | F × L / 4 | F × L³ / (48 × E × I) |
| Poutre encastrée (console), charge F au bout, longueur L | F × L | F × L³ / (3 × E × I) |
La flèche croît comme le cube de la portée : doubler la longueur multiplie la flèche par 8.
La méthode
- Modéliser la poutre : appuis, charges, portée.
- Calculer le moment fléchissant maximal.
- Calculer I et v pour la section.
- Vérifier la résistance : σ_max ≤ Re / s.
- Vérifier la déformation : flèche ≤ flèche admise par le cahier des charges.
Exemple travaillé
Une poutre en acier (E = 210 000 MPa) de section 20 × 60 mm, posée sur chant (h = 60 mm) sur deux appuis distants de 1 m, porte 1 000 N en son milieu.
- I = 20 × 60³ / 12 = 360 000 mm⁴ ; posée à plat, on n’aurait que 60 × 20³ / 12 = 40 000 mm⁴, neuf fois moins.
- Mf max = 1 000 × 1 000 / 4 = 250 000 N·mm ; v = 30 mm ; σ_max = 250 000 × 30 / 360 000 ≈ 21 MPa.
- Flèche = 1 000 × 1 000³ / (48 × 210 000 × 360 000) ≈ 0,28 mm.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Où la contrainte est-elle nulle dans une poutre fléchie ?
2.Pour une poutre sur deux appuis chargée vers le bas, les fibres du bas sont…
3.Quel est le moment quadratique d’un rectangle de base b et de hauteur h ?
4.Pourquoi une planche posée sur chant plie-t-elle moins qu’à plat ?
5.Doubler la portée d’une poutre sur deux appuis, à charge égale, multiplie sa flèche par…
6.Quelle est la flèche d’une poutre sur deux appuis chargée au milieu ?
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