Mathématiques (voie techno) · Première · Analyse
Fonction dérivée et sens de variation
Le signe de f′ dit si f monte.
En bref
Plutôt que de calculer un nombre dérivé point par point, on calcule d’un coup la fonction dérivée f′.
Plutôt que de calculer un nombre dérivé point par point, on calcule d’un coup la fonction dérivée f′. Son signe donne alors toutes les variations de f.
Les dérivées à connaître
| La fonction f(x) | Sa dérivée f′(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| x³ | 3x² |
| k × u(x) | k × u′(x) |
| u(x) + v(x) | u′(x) + v′(x) |
Avec ces règles, on dérive tout polynôme de degré au plus 3 : si f(x) = x³ − 4x + 7, alors f′(x) = 3x² − 4.
Du signe de f′ aux variations de f
| Sur un intervalle I | Alors f est… |
|---|---|
| f′(x) > 0 | Croissante sur I |
| f′(x) < 0 | Décroissante sur I |
| f′(x) = 0 | Constante sur I |
Un extremum local se trouve là où f′ s’annule en changeant de signe : de + à −, c’est un maximum ; de − à +, un minimum.
f′(a) = 0 ne suffit pas : pour f(x) = x³, f′(0) = 0 mais f′ reste positive des deux côtés, et f n’a pas d’extremum en 0.
La méthode complète
- Calculer f′(x).
- Étudier son signe (factoriser si besoin, tableau de signes).
- Dresser le tableau de variations.
- Calculer les extremums en remplaçant x par les valeurs trouvées dans f (et non dans f′).
Exemple travaillé
f(x) = x³ − 3x sur les réels.
- f′(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
- Signe : f′(x) > 0 si x < −1 ou x > 1 ; f′(x) < 0 sur ]−1 ; 1[.
| x | avant −1 | −1 | entre −1 et 1 | 1 | après 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f | croissante | 2 | décroissante | −2 | croissante |
- f(−1) = −1 + 3 = 2 (maximum local) ; f(1) = 1 − 3 = −2 (minimum local).
Un exemple économique
Le bénéfice d’un atelier est B(x) = −2x² + 8x (en milliers d’euros, x en centaines d’objets). B′(x) = −4x + 8 s’annule en x = 2, positif avant, négatif après : le bénéfice est maximal pour 200 objets, et vaut B(2) = −8 + 16 = 8, soit 8 000 €.
La dérivée ne donne pas la valeur de f, elle donne sa pente : c’est f qui donne les extremums.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est la dérivée de f(x) = 5x² ?
2.Quelle est la dérivée de f(x) = x³ − 4x + 7 ?
3.La dérivée d’une fonction constante est…
4.Si f′(x) > 0 sur un intervalle, f y est…
5.Pour B(x) = −2x² + 8x, en quelle valeur de x le bénéfice est-il maximal ?
6.Si f′(a) = 0, alors f admet toujours un extremum en a.
0 / 6 questions
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