Maths · Première · Géométrie
Calcul vectoriel et produit scalaire
Un nombre qui parle d’angles.
En bref
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, non un vecteur.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel, non un vecteur. C'est la première chose à ne pas confondre.
Les quatre expressions
| L'expression | Sa formule | Quand l'employer |
|---|---|---|
| Par coordonnées (repère orthonormé) | u · v = x x' + y y' | On a les coordonnées |
| Par normes et angle | u · v = norme de u × norme de v × cos θ | On a des longueurs et un angle |
| Par projection orthogonale | On projette un vecteur sur la direction de l'autre, puis on multiplie les mesures algébriques | Une figure géométrique |
| Par normes seules | u · v = ½ (norme de (u + v) au carré − norme de u au carré − norme de v au carré) | On n'a que des longueurs |
Savoir passer de l'une à l'autre est l'essentiel du chapitre : c'est le choix de l'expression, plus que le calcul, qui décide de la difficulté.
Propriétés
| La propriété | Son énoncé |
|---|---|
| Symétrie | u · v = v · u |
| Bilinéarité | u · (v + w) = u · v + u · w, et (k u) · v = k (u · v) |
| Carré scalaire | u · u = norme de u au carré |
Le critère d'orthogonalité
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
En coordonnées : x x' + y y' = 0.
C'est le critère le plus utilisé du chapitre : il transforme une question de géométrie en un calcul.
Les applications
| L'application | Ce qu'elle donne |
|---|---|
| Angles | La deuxième expression donne cos θ, donc l'angle |
| Théorème d'Al-Kashi | a² = b² + c² − 2 b c cos A, dans un triangle quelconque |
| Lieux de points | Cercles, droites, médiatrices définis par une relation vectorielle |
Al-Kashi généralise Pythagore : pour A = 90°, cos A = 0 et l'on retrouve a² = b² + c².
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6 questions pour vérifier
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1.Le produit scalaire de deux vecteurs est…
2.Comment calcule-t-on le produit scalaire en repère orthonormé ?
3.Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
4.Quelle expression fait intervenir l’angle entre les deux vecteurs ?
5.Que vaut u · u ?
6.Que devient le théorème d’Al-Kashi quand l’angle A vaut 90° ?
0 / 6 questions
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