Maths · Première · Analyse
Fonctions trigonométriques
Le cercle donne cos et sin.
En bref
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine, orienté dans le sens direct.
Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 centré à l'origine, orienté dans le sens direct. À tout réel x on associe le point M obtenu en parcourant une longueur x depuis le point (1 ; 0).
Cosinus et sinus
Les coordonnées de M sont (cos x ; sin x). Il en découle immédiatement :
| La propriété | Ce qu'elle dit | D'où elle vient |
|---|---|---|
| Encadrement | −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1 | M est sur un cercle de rayon 1 |
| Relation fondamentale | cos² x + sin² x = 1 | Le théorème de Pythagore dans ce cercle |
Le radian
Le radian mesure un angle par la longueur d'arc qu'il intercepte sur le cercle de rayon 1.
| En radians | En degrés |
|---|---|
| 2π | 360° |
| π | 180° |
| π/2 | 90° |
| π/3 | 60° |
| π/4 | 45° |
| π/6 | 30° |
Les valeurs remarquables
| x | cos x | sin x |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| π/6 | √3 / 2 | 1/2 |
| π/4 | √2 / 2 | √2 / 2 |
| π/3 | 1/2 | √3 / 2 |
| π/2 | 0 | 1 |
Périodicité et parité
| La fonction | Sa période | Sa parité | La symétrie de sa courbe |
|---|---|---|---|
| Cosinus | 2π | Paire : cos(−x) = cos x | Par rapport à l'axe des ordonnées |
| Sinus | 2π | Impaire : sin(−x) = −sin x | Par rapport à l'origine |
Périodiques de période 2π : il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur 2π.
Angles associés
| L'angle | Son cosinus | Son sinus |
|---|---|---|
| π − x | −cos x | sin x |
| π + x | −cos x | −sin x |
| −x | cos x | −sin x |
Plutôt que de les apprendre, on les relit sur le cercle : cela évite les erreurs de signe.
Dérivées
(sin x)' = cos x et (cos x)' = −sin x
Le signe moins se retrouve sur la courbe : le cosinus décroît là où le sinus est positif.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelles sont les coordonnées du point associé au réel x sur le cercle trigonométrique ?
2.Quelle relation lie cosinus et sinus d’un même réel ?
3.Combien de radians vaut un tour complet ?
4.La fonction sinus est paire.
5.Que vaut cos(π/3) ?
6.Quelle est la dérivée de la fonction cosinus ?
0 / 6 questions
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