Maths · Première · Géométrie
Géométrie repérée
Des figures qui se calculent.
En bref
La géométrie repérée traduit les figures en équations : ce qui se démontrait par construction se calcule.
Les droites
| L'équation | Son écriture | Ce qu'elle donne |
|---|---|---|
| Cartésienne | a x + b y + c = 0, a et b non tous deux nuls | Vecteur directeur u(−b ; a) ; vecteur normal n(a ; b) |
| Réduite | y = m x + p | m, coefficient directeur ; p, ordonnée à l'origine |
L'équation réduite ne convient pas aux droites verticales, d'équation x = k.
Coefficient directeur de la droite (AB) :
m = (y(B) − y(A)) / (x(B) − x(A))
Parallélisme et orthogonalité
| La relation | Par les coefficients directeurs | Par les vecteurs directeurs |
|---|---|---|
| Parallèles | m = m' | Colinéaires : x y' − y x' = 0 |
| Perpendiculaires | m × m' = −1 | Produit scalaire nul |
Les cercles
Cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r :
(x − a)² + (y − b)² = r²
Une équation développée x² + y² + α x + β y + γ = 0 se ramène à cette forme en complétant les carrés — la technique de la forme canonique du second degré.
| Le membre de droite obtenu | L'ensemble |
|---|---|
| Strictement positif | Un cercle |
| Nul | Un seul point |
| Négatif | L'ensemble vide |
Autre caractérisation utile : le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que les vecteurs MA et MB aient un produit scalaire nul — l'angle en M est droit.
Les formules de base
| La grandeur | Sa formule |
|---|---|
| Milieu de [AB] | ((x(A) + x(B)) / 2 ; (y(A) + y(B)) / 2) |
| Distance AB | √((x(B) − x(A))² + (y(B) − y(A))²) |
Beaucoup de problèmes se résolvent en traduisant l'énoncé en équations, puis en résolvant un système. La figure ne sert alors qu'à contrôler la vraisemblance.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quel est un vecteur directeur de la droite d’équation a x + b y + c = 0 ?
2.Quelle est l’équation d’un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r ?
3.Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1.
4.Comment reconnaît-on que deux vecteurs sont colinéaires ?
5.Quelle droite ne peut pas s’écrire sous la forme y = m x + p ?
6.Comment ramène-t-on une équation développée de cercle à sa forme canonique ?
0 / 6 questions
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