Maths · Première · Géométrie
Vecteur normal, projeté orthogonal et intersections
Perpendiculaire, produit scalaire nul.
En bref
Le produit scalaire donne à la géométrie repérée ses outils les plus efficaces.
Le produit scalaire donne à la géométrie repérée ses outils les plus efficaces. Quatre méthodes reviennent sans cesse : la droite définie par un vecteur normal, la tangente à un cercle, le projeté orthogonal et l'intersection d'une droite et d'un cercle. On travaille dans un repère orthonormé.
La droite de vecteur normal donné
Un vecteur normal à une droite est orthogonal à sa direction. La droite de vecteur normal n(a ; b) passant par A(xA ; yA) est l'ensemble des points M tels que AM · n = 0 :
a (x − xA) + b (y − yA) = 0
Exemple. n(2 ; −1) et A(1 ; 3) : 2 (x − 1) − (y − 3) = 0, soit 2x − y + 1 = 0. Contrôle : 2 − 3 + 1 = 0, le point A est bien sur la droite.
Lecture directe : la droite ax + by + c = 0 a pour vecteur normal n(a ; b). Pour 3x − 5y + 2 = 0, c'est n(3 ; −5).
La tangente à un cercle
La tangente en un point A d'un cercle de centre Ω est perpendiculaire au rayon [ΩA] : le vecteur ΩA est normal à la tangente.
Exemple. Cercle de centre Ω(1 ; 2) passant par A(4 ; 6). ΩA(3 ; 4), donc la tangente en A a pour équation 3 (x − 4) + 4 (y − 6) = 0, soit 3x + 4y − 36 = 0.
La médiatrice d'un segment
La médiatrice de [AB] passe par le milieu de [AB] et admet AB pour vecteur normal.
Exemple. A(1 ; 1) et B(5 ; 3) : milieu I(3 ; 2), AB(4 ; 2). D'où 4 (x − 3) + 2 (y − 2) = 0, soit 2x + y − 8 = 0.
Le projeté orthogonal d'un point sur une droite
Le projeté orthogonal H de M sur la droite d est le point de d le plus proche de M. On le trouve en écrivant deux conditions :
- H appartient à d ;
- MH est orthogonal à un vecteur directeur u de d (MH · u = 0).
Exemple. d : y = x, de vecteur directeur u(1 ; 1), et M(4 ; 0). H(t ; t) et MH(t − 4 ; t) ; MH · u = 2t − 4 = 0, donc t = 2 et H(2 ; 2). La distance de M à d vaut MH = √(4 + 4) = 2√2.
L'intersection d'une droite et d'un cercle
On remplace y (ou x) dans l'équation du cercle : on obtient une équation du second degré.
| Le discriminant | La position |
|---|---|
| Δ > 0 | Deux points d'intersection : la droite est sécante |
| Δ = 0 | Un seul point : la droite est tangente |
| Δ < 0 | Aucun point : la droite est extérieure |
Exemple. Cercle x² + y² = 25 et droite y = x + 1 : x² + (x + 1)² = 25 donne x² + x − 12 = 0, de racines 3 et −4. Les points sont (3 ; 4) et (−4 ; −3).
Toujours vérifier : un point trouvé doit satisfaire les DEUX équations.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est l’équation de la droite de vecteur normal n(2 ; −1) passant par A(1 ; 3) ?
2.Quel est un vecteur normal à la droite 3x − 5y + 2 = 0 ?
3.La tangente à un cercle en un point A est perpendiculaire au rayon [ΩA].
4.Cercle de centre Ω(1 ; 2) passant par A(4 ; 6). Quelle est la tangente en A ?
5.Quel est le projeté orthogonal de M(4 ; 0) sur la droite y = x ?
6.Quelle est la distance du point M(4 ; 0) à la droite y = x ?
0 / 6 questions
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