Maths · Première · Probabilité et statistiques
Probabilités conditionnelles et indépendance
Un arbre, des produits, des sommes.
En bref
La probabilité conditionnelle de B sachant A est la probabilité que B se réalise une fois qu'on sait que A est réalisé.
Pour P(A) différent de 0 :
P(A)(B) = P(A inter B) / P(A)
d'où la relation la plus utilisée du chapitre :
P(A inter B) = P(A) × P(A)(B)
L'arbre pondéré
| La règle | Son énoncé |
|---|---|
| Somme | Les branches issues d'un même nœud ont des probabilités de somme 1 |
| Produit | La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches |
| Somme des chemins | La probabilité d'un événement est la somme des chemins qui y mènent |
Les branches du deuxième niveau portent des probabilités conditionnelles. C'est là que se joue la lecture correcte d'un énoncé.
La formule des probabilités totales
Si A et son contraire partitionnent l'univers :
P(B) = P(A) × P(A)(B) + P(A barre) × P(A barre)(B)
C'est exactement la troisième règle de l'arbre, écrite en formule.
L'indépendance
A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre :
P(A inter B) = P(A) × P(B), ou de façon équivalente P(A)(B) = P(B)
| À ne pas confondre | Pourquoi |
|---|---|
| Indépendants et incompatibles | Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l'un se réalise, l'autre devient impossible |
| Deviner et démontrer | L'indépendance se démontre par le calcul ; elle ne se devine pas |
Ce qu'il faut savoir inverser
Beaucoup d'exercices donnent P(A)(B) et demandent P(B)(A) : un test médical dont on connaît la fiabilité, et dont on cherche la probabilité d'être malade sachant le test positif.
| L'étape | Le calcul |
|---|---|
| 1 | P(A inter B), par le produit des branches |
| 2 | P(B), par les probabilités totales |
| 3 | Le quotient P(A inter B) / P(B) |
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de B sachant A ?
2.Comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré ?
3.La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1.
4.Que dit la formule des probabilités totales ?
5.Quelle égalité caractérise deux événements indépendants ?
6.Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont indépendants.
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