Maths · Première · Algèbre
Les suites arithmétiques et géométriques
On ajoute, ou on multiplie.
En bref
Deux familles de suites décrivent l'essentiel des évolutions modélisées en Première.
Les deux modèles face à face
| Le point | Suite arithmétique | Suite géométrique |
|---|---|---|
| On passe au terme suivant en… | Ajoutant la raison r | Multipliant par la raison q |
| Relation de récurrence | u(n+1) = u(n) + r | u(n+1) = u(n) × q |
| Forme explicite | u(n) = u(0) + n × r | u(n) = u(0) × q puissance n |
| Croissante si… | r > 0 | q > 1 (avec u(0) > 0) |
| Décroissante si… | r < 0 | 0 < q < 1 (avec u(0) > 0) |
| Représentation | Des points alignés | Une courbe qui s'emballe |
| Type de croissance | Linéaire | Exponentielle |
Plus généralement, pour l'arithmétique : u(n) = u(p) + (n − p) × r.
La croissance exponentielle finit toujours par dépasser n'importe quelle croissance linéaire.
Les deux sommes
Somme des entiers, pour une suite arithmétique de raison 1 :
1 + 2 + … + n = n × (n + 1) / 2
Somme des puissances, pour q différent de 1 :
1 + q + q² + … + q puissance n = (1 − q puissance (n+1)) / (1 − q)
Reconnaître laquelle
| Ce qui est constant entre deux termes consécutifs | La suite est… |
|---|---|
| La différence | Arithmétique |
| Le quotient | Géométrique |
Le cas concret le plus utile
Une évolution de t % par période revient à multiplier par le coefficient multiplicateur 1 + t / 100.
| L'évolution annuelle | La raison de la suite géométrique |
|---|---|
| Hausse de 5 % | 1,05 |
| Baisse de 5 % | 0,95 |
| Baisse de 10 % | 0,90 |
Piège classique : deux baisses de 10 % ne font pas une baisse de 20 %. On calcule 0,90 × 0,90 = 0,81, soit une baisse de 19 %.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Comment reconnaît-on une suite géométrique ?
2.Quelle est la forme explicite d’une suite arithmétique de premier terme u(0) ?
3.Une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme positif est décroissante.
4.Par quel coefficient multiplie-t-on pour une hausse de 5 % ?
5.Deux baisses successives de 10 % équivalent à une baisse de 20 %.
6.Quelle est la forme explicite d’une suite géométrique de premier terme u(0) ?
0 / 6 questions
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