Maths · Première · Algèbre
Calculer une somme de termes consécutifs
D’abord, compter les termes.
En bref
Additionner cinquante termes un par un, c'est long et risqué.
Additionner cinquante termes un par un, c'est long et risqué. Pour les suites arithmétiques et géométriques, deux formules donnent la somme d'un seul coup — à condition de savoir combien de termes on additionne.
Première question à se poser, toujours : combien y a-t-il de termes dans la somme ?
Compter les termes
De u(p) à u(n) inclus, il y a n − p + 1 termes.
| La somme | Le nombre de termes |
|---|---|
| u(0) + u(1) + … + u(9) | 10 |
| u(1) + … + u(20) | 20 |
| u(3) + … + u(20) | 18 |
L'erreur classique est d'oublier le « + 1 » : de u(0) à u(9), il y a dix termes, pas neuf.
La somme d'une suite arithmétique
La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut :
S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2
Le cas le plus célèbre : 1 + 2 + … + 100 = 100 × 101 / 2 = 5 050. Plus généralement, 1 + 2 + … + n = n (n + 1) / 2.
Exemple travaillé. Calculer S = 3 + 7 + 11 + … + 43.
- On reconnaît une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 4.
- On compte les termes : (43 − 3) / 4 + 1 = 11 termes.
- On applique la formule : S = 11 × (3 + 43) / 2 = 11 × 23 = 253.
La somme d'une suite géométrique
Pour une raison q différente de 1 :
S = premier terme × (1 − q puissance N) / (1 − q), où N est le nombre de termes.
| La somme | Le calcul | Le résultat |
|---|---|---|
| 1 + 2 + 4 + … + 1 024 | 11 termes (1 024 = 2 puissance 10) : (1 − 2 puissance 11) / (1 − 2) | 2 047 |
| 2 + 6 + 18 + … + 486 | 6 termes, raison 3 : 2 × (1 − 729) / (1 − 3) | 728 |
Si q = 1, la formule divise par zéro : tous les termes sont égaux, et la somme vaut simplement N × premier terme.
Une somme qui ne dépasse jamais 2
1 + 1/2 + 1/4 + … + (1/2) puissance n = 2 − (1/2) puissance n. On a beau ajouter des termes, la somme s'approche de 2 sans jamais l'atteindre : chaque terme ajouté comble la moitié de ce qui manque.
En situation
Une coureuse parcourt 2 km le premier jour, puis 0,5 km de plus chaque jour. Sur 10 jours : le dernier jour, elle court 2 + 9 × 0,5 = 6,5 km, et au total 10 × (2 + 6,5) / 2 = 42,5 km.
Et en Python
Quand aucune formule ne s'applique, on accumule dans une boucle : on part de s = 0 et, à chaque tour, on fait s = s + u, puis on calcule le terme suivant.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Combien vaut 1 + 2 + 3 + … + 100 ?
2.Combien de termes compte la somme u(3) + u(4) + … + u(20) ?
3.Quelle formule donne la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
4.Combien vaut 3 + 7 + 11 + … + 43 ?
5.Combien vaut 1 + 2 + 4 + … + 1 024 ?
6.Pour une suite géométrique de raison q différente de 1, la somme de N termes consécutifs vaut…
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