Maths · Première · Algèbre
Les suites numériques
Des termes, un rang, un sens.
En bref
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels : à chaque rang n elle associe un terme u(n).
On note la suite (u) et son terme de rang n, u(n) — jamais u × n.
Deux façons de définir une suite
| La définition | Ce qu'on donne | Un exemple | Ce qu'elle permet |
|---|---|---|---|
| Explicite | u(n) en fonction de n | u(n) = 3n − 2 | Calculer u(100) sans les précédents |
| Par récurrence | Le premier terme et une relation entre u(n+1) et u(n) | u(0) = 5 et u(n+1) = 2 u(n) + 1 | Décrire un processus pas à pas |
Les deux ne se valent pas à l'usage : la forme récurrente colle aux situations réelles — un capital qui évolue chaque année, une population qui se renouvelle.
Sens de variation
| La méthode | Ce qu'on étudie | Quand l'employer |
|---|---|---|
| La différence | Le signe de u(n+1) − u(n) | Toujours possible |
| Le quotient | Comparer u(n+1) / u(n) à 1 | Seulement si tous les termes sont strictement positifs |
| La fonction associée | Le sens de variation de f, si u(n) = f(n) | Seulement pour une suite explicite |
(u) est croissante si u(n+1) ≥ u(n) pour tout n, décroissante si u(n+1) ≤ u(n).
Majorée, minorée, bornée
| Le mot | Sa condition |
|---|---|
| Majorée | Il existe M tel que u(n) ≤ M pour tout n |
| Minorée | Il existe m tel que u(n) ≥ m pour tout n |
| Bornée | Les deux à la fois |
Représenter une suite
Une suite se représente par des points isolés de coordonnées (n ; u(n)).
Jamais par une courbe continue : n ne prend que des valeurs entières.
Pour une suite définie par récurrence, on trace la courbe de f et la droite d'équation y = x : le va-et-vient entre les deux, en escalier ou en escargot, donne à voir le comportement des termes.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Une suite numérique est une fonction définie sur…
2.Que faut-il pour définir une suite par récurrence ?
3.Comment détermine-t-on le sens de variation d’une suite ?
4.Une suite se représente graphiquement par une courbe continue.
5.Qu’est-ce qu’une suite bornée ?
6.Avec une définition explicite, peut-on calculer u(100) sans calculer les termes précédents ?
0 / 6 questions
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