Maths · Première · Algèbre
Le second degré
Δ décide du nombre de racines.
En bref
Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = a x² + b x + c, avec a différent de 0.
Un trinôme du second degré s'écrit f(x) = a x² + b x + c, avec a différent de 0. Sa courbe est une parabole.
| Le signe de a | La parabole |
|---|---|
| a > 0 | Tournée vers le haut |
| a < 0 | Tournée vers le bas |
Le discriminant
Δ = b² − 4 a c
| La valeur de Δ | Les racines | La parabole et l'axe des abscisses |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Deux racines : x1 = (−b − √Δ) / (2a) et x2 = (−b + √Δ) / (2a) | Elle le coupe en deux points |
| Δ = 0 | Une racine double : x0 = −b / (2a) | Elle lui est tangente |
| Δ < 0 | Aucune racine réelle | Elle ne le coupe pas |
Les trois formes du trinôme
| La forme | Son écriture | Ce qu'elle donne à lire |
|---|---|---|
| Développée | a x² + b x + c | c, l'ordonnée à l'origine ; le calcul de Δ |
| Factorisée (si Δ ≥ 0) | a (x − x1)(x − x2) | Les racines |
| Canonique | a (x − α)² + β, avec α = −b / (2a) et β = f(α) | Le sommet (α ; β) |
Choisir la bonne forme selon la question posée fait gagner plus de temps que n'importe quel calcul astucieux.
Le signe du trinôme
La règle tient en une phrase : le trinôme est du signe de a partout, sauf entre les racines.
| Le cas | Le signe |
|---|---|
| Δ < 0 | Du signe de a sur tout l'ensemble des réels — il ne s'annule jamais |
| Δ = 0 | Du signe de a partout, nul en x0 |
| Δ > 0 | Du signe opposé à a strictement entre x1 et x2 |
Sommet et symétrie
| Le signe de a | L'extremum en α |
|---|---|
| a > 0 | Un minimum |
| a < 0 | Un maximum |
La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x = α.
Deux relations utiles : la somme des racines vaut −b / a, leur produit c / a.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle est l’expression du discriminant ?
2.Que peut-on dire d’un trinôme dont le discriminant est négatif ?
3.Un trinôme est du signe de a sauf entre ses racines.
4.Quelle est l’abscisse du sommet d’une parabole d’équation a x² + b x + c ?
5.Quelle forme du trinôme permet de lire directement les racines ?
6.Si a est positif, la fonction du second degré admet un maximum.
0 / 6 questions
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