Maths · Première · Probabilité et statistiques
Variable aléatoire et loi de probabilité
Espérance, variance, écart type.
En bref
Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire : elle transforme des issues quelconques en valeurs sur lesquelles on peut calculer.
La loi de probabilité
Donner la loi de X, c'est donner toutes ses valeurs possibles et la probabilité de chacune, en tableau.
Contrôle obligatoire : la somme des probabilités vaut 1.
L'espérance
E(X) = somme des x(i) × P(X = x(i))
C'est la valeur moyenne que prendrait X sur un très grand nombre de répétitions.
| L'espérance de gain | Le jeu est… |
|---|---|
| Positive | Favorable au joueur |
| Négative | Favorable à l'organisateur |
| Nulle | Équitable |
L'espérance n'est pas forcément une valeur atteignable : celle du lancer d'un dé équilibré vaut 3,5.
Variance et écart type
V(X) = somme des x(i)² × P(X = x(i)) − [E(X)]²
σ(X) = √(V(X))
| La grandeur | Ce qu'elle mesure | Son unité |
|---|---|---|
| Variance | La dispersion autour de l'espérance | Le carré de celle de X |
| Écart type | La même dispersion, ramenée à l'échelle | Celle de X, donc interprétable |
Deux variables de même espérance peuvent avoir des écarts types très différents : la même moyenne ne dit rien du risque.
Les propriétés
| La transformation | L'espérance | La variance |
|---|---|---|
| aX + b | a E(X) + b | a² V(X) |
Le b disparaît de la variance — une translation ne change pas la dispersion — et le a y est au carré.
L'échantillonnage
Si l'on répète n fois la même expérience de façon indépendante, la moyenne des résultats se rapproche de l'espérance quand n grandit : c'est la loi des grands nombres.
C'est elle qui justifie les simulations, et qui explique pourquoi un casino ne perd pas sur le long terme même s'il perd sur un coup.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’une variable aléatoire ?
2.Que vaut la somme des probabilités d’une loi de probabilité ?
3.Comment calcule-t-on l’espérance d’une variable aléatoire ?
4.L’espérance d’une variable aléatoire est toujours une valeur qu’elle peut prendre.
5.Que signifie une espérance de gain nulle dans un jeu d’argent ?
6.Que vaut V(aX + b) ?
0 / 6 questions
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