Maths · Première · Probabilité et statistiques
Simulation et échantillonnage : la moyenne se stabilise
La moyenne se stabilise.
En bref
Répéter mille fois une expérience à la main est impossible ; en Python, cela prend une fraction de seconde.
Répéter mille fois une expérience à la main est impossible ; en Python, cela prend une fraction de seconde. La simulation permet d'observer ce que les probabilités annoncent : la moyenne des résultats se rapproche de l'espérance.
Les deux fonctions du hasard
On les importe par la ligne « from random import random, randint ».
| L'instruction | Ce qu'elle renvoie |
|---|---|
| random() | Un réel au hasard dans [0 ; 1[ |
| randint(1, 6) | Un entier au hasard entre 1 et 6, bornes comprises |
Pour simuler un succès de probabilité p, on teste random() < p : ce test est vrai avec la probabilité p.
Simuler une variable aléatoire
Une fonction qui renvoie 1 en cas de succès et 0 sinon :
def essai(p):
if random() < p:
return 1
return 0La fréquence des succès sur n essais vaut (nombre de succès) / n.
Un échantillon, puis beaucoup d'échantillons
Un échantillon de taille n, ce sont n répétitions indépendantes de la même expérience. On calcule sa moyenne m. Deux échantillons différents donnent des moyennes différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
Exemple : le dé. Pour un dé équilibré, l'espérance vaut μ = 3,5 et l'écart type σ ≈ 1,71. Lancer 10 dés donne une moyenne qui peut valoir 2,8 ou 4,1 ; avec 1 000 dés, elle reste très près de 3,5.
Ce que l'on observe
| Ce qu'on fait varier | Ce qu'on constate |
|---|---|
| On augmente la taille n de l'échantillon | Les moyennes se resserrent autour de l'espérance μ |
| On mesure la dispersion des moyennes | Leur écart type est proche de σ / √n |
| On compte les échantillons où l'écart entre m et μ est au plus 2σ / √n | On en trouve la grande majorité, le plus souvent autour de 95 % |
Multiplier la taille de l'échantillon par 16 divise la dispersion des moyennes par √16 = 4. Pour gagner en précision, il faut beaucoup plus de données.
La loi des grands nombres
Plus n est grand, plus la moyenne d'un échantillon a de chances d'être proche de l'espérance. C'est ce qui justifie qu'on estime une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais.
Les limites d'une simulation
Une simulation estime une probabilité ; elle ne la démontre pas. Deux simulations ne donnent pas exactement le même résultat, et seul le calcul donne la valeur exacte.
La simulation propose, le calcul dispose : on s'en sert pour conjecturer ou pour vérifier la vraisemblance d'un résultat.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelles valeurs peut renvoyer randint(1, 6) ?
2.Avec quelle probabilité le test random() < 0,3 est-il vrai ?
3.Que se passe-t-il quand on augmente la taille des échantillons ?
4.L’écart type des moyennes d’échantillons de taille n est proche de…
5.On multiplie par 16 la taille des échantillons. La dispersion des moyennes est…
6.Deux échantillons de même taille donnent toujours la même moyenne.
0 / 6 questions
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