Sciences de l'ingénieur · Première · Statique du solide indéformable
Calcul vectoriel et repères
Projeter, additionner, multiplier.
En bref
Toute action mécanique se représente par un vecteur.
Toute action mécanique se représente par un vecteur. Manipuler des vecteurs n'est pas un préalable mathématique : c'est le langage même de la statique.
Un vecteur, quatre caractéristiques
| La caractéristique | Ce qu'elle précise |
|---|---|
| Point d'application | Où la force s'exerce |
| Direction | La droite qui la porte |
| Sens | Vers où elle pousse |
| Norme (intensité) | Combien : en newtons pour une force |
Deux vecteurs ne sont égaux que si direction, sens et norme coïncident.
Repères
Un repère orthonormé direct est défini par une origine et des vecteurs de base perpendiculaires, de norme 1, orientés selon la règle de la main droite.
On choisit le repère qui simplifie le calcul : souvent un axe le long du plan incliné, plutôt qu'à l'horizontale.
Un même vecteur a des coordonnées différentes dans deux repères — mais c'est le même vecteur. Changer de repère est un choix de commodité, jamais un changement de physique.
Opérations
| L'opération | Comment |
|---|---|
| Somme | Relation de Chasles, ou parallélogramme ; en coordonnées, composante par composante |
| Produit par un réel | La norme est multipliée ; le sens s'inverse si le réel est négatif |
| Norme dans le plan | Racine carrée de (x² + y²) |
La projection
Le geste le plus employé de la statique. Pour un vecteur de norme F faisant un angle α avec l'axe :
composante sur l'axe = F × cos α
composante perpendiculaire = F × sin α
L'erreur la plus fréquente est d'intervertir sinus et cosinus. Le repère de contrôle : la composante le long de l'axe fait intervenir le cosinus de l'angle avec cet axe.
Les deux produits
| Le produit | Ce qu'il donne | Sa formule | À quoi il sert |
|---|---|---|---|
| Scalaire | Un nombre | norme de u × norme de v × cos α ; nul si les vecteurs sont perpendiculaires | Le travail d'une force |
| Vectoriel | Un vecteur perpendiculaire aux deux | de norme : norme de u × norme de v × sin α | Les moments |
Teste-toi
6 questions pour vérifier
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1.Quelles sont les quatre caractéristiques d’un vecteur force ?
2.Quelle est la composante d’une force le long d’un axe avec lequel elle fait l’angle α ?
3.Un même vecteur a les mêmes coordonnées dans tous les repères.
4.À quoi sert le produit vectoriel en mécanique ?
5.Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires ?
6.Comment choisit-on un repère en mécanique ?
0 / 6 questions
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