Maths · Seconde · Statistiques et probabilités
Échantillonnage
Un échantillon fluctue, on l’encadre.
En bref
On ne peut presque jamais interroger toute une population.
On ne peut presque jamais interroger toute une population. On observe un échantillon, et l'on accepte que le résultat fluctue.
Le vocabulaire
| Le terme | Sa définition |
|---|---|
| Un échantillon de taille n | Le résultat de n répétitions indépendantes de la même expérience |
| La fréquence observée f | La proportion du caractère dans l'échantillon |
| La proportion p | Sa valeur, inconnue, dans la population entière |
La fluctuation d'échantillonnage
| Le constat | Sa portée |
|---|---|
| Deux échantillons de même taille donnent des fréquences différentes | Ce n'est pas une erreur de mesure : c'est inhérent au tirage |
| Quand n augmente | La fluctuation diminue |
Un sondage sur mille personnes n'est pas mille fois moins fiable qu'un recensement : la précision dépend de la racine de n.
Une simulation le montre bien : en simulant 100 fois 100 lancers d'une pièce (par un programme Python ou un tableur), les fréquences de pile s'étalent autour de 0,5 ; avec 1 000 lancers par échantillon, elles se resserrent nettement.
L'intervalle de fluctuation
Pour n assez grand et p pas trop proche de 0 ou de 1, environ 95 % des échantillons donnent une fréquence dans :
[p − 1/√n ; p + 1/√n]
| La taille n | La demi-largeur 1/√n |
|---|---|
| 100 | 0,10 |
| 400 | 0,05 |
| 1 600 | 0,025 |
Pour diviser l'incertitude par deux, il faut multiplier la taille de l'échantillon par quatre.
Avec p = 0,5 et n = 100, l'intervalle est [0,5 − 0,1 ; 0,5 + 0,1] = [0,4 ; 0,6].
À quoi cela sert
| Le résultat | La conclusion |
|---|---|
| La fréquence observée tombe hors de l'intervalle | On rejette l'hypothèse, au seuil de 95 % |
| Elle tombe dedans | On ne la rejette pas — ce qui n'est pas la démontrer |
C'est aussi ce qui justifie la marge d'erreur annoncée avec tout sondage. Et l'importance du recrutement : un échantillon mal constitué reste biaisé, quelle que soit sa taille.
Exemple résolu : un dé est-il truqué ?
Un fabricant affirme que la face 6 sort avec la probabilité 1/6 ≈ 0,167. On lance le dé 400 fois et on obtient 90 fois le 6.
- Fréquence observée : f = 90 ÷ 400 = 0,225.
- Intervalle au seuil de 95 % : 1/√400 = 0,05, donc [0,167 − 0,05 ; 0,167 + 0,05] ≈ [0,117 ; 0,217].
- f = 0,225 est hors de l'intervalle : on rejette l'affirmation au seuil de 95 %, avec un risque d'environ 5 % de se tromper.
La méthode : 1. identifier p et n ; 2. calculer l'intervalle ; 3. calculer f ; 4. comparer et conclure prudemment.
Les erreurs fréquentes
- Croire qu'une fréquence dans l'intervalle prouve l'hypothèse : elle ne la contredit simplement pas.
- Penser qu'un énorme échantillon compense un mauvais recrutement : un biais ne se corrige pas par la taille.
- Confondre la fréquence observée f, connue, et la proportion p de la population.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce qu’un échantillon de taille n ?
2.Qu’est-ce que la fluctuation d’échantillonnage ?
3.Que devient la fluctuation quand la taille de l’échantillon augmente ?
4.Quel est l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % pour une proportion p ?
5.Par combien faut-il multiplier n pour diviser l’incertitude par deux ?
6.Une fréquence observée hors de l’intervalle de fluctuation conduit à rejeter l’hypothèse au seuil de 95 %.
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Échantillonnage » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
