Maths · Seconde · Géométrie
Repère et coordonnées de vecteurs
Démontrer, c’est calculer.
En bref
Un repère transforme des figures en nombres : dès que les points ont des coordonnées, démontrer devient calculer.
Coordonnées d'un vecteur
Si A est le point (xA ; yA) et B le point (xB ; yB), le vecteur AB a pour coordonnées :
(xB − xA ; yB − yA)
L'ordre compte : on soustrait toujours l'origine à l'extrémité.
Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 7) donnent AB(4 − 1 ; 7 − 2), soit (3 ; 5).
Les formules à connaître
| La grandeur | Sa formule | Sa condition |
|---|---|---|
| Milieu de [AB] | ((xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2) | Tout repère |
| Distance AB | √((xB − xA)² + (yB − yA)²) | Repère orthonormé uniquement |
| Somme de deux vecteurs | On additionne les coordonnées | Tout repère |
| Produit par un réel k | On multiplie chaque coordonnée par k | Tout repère |
Le calcul de distance n'est valable que dans un repère orthonormé. Dans un repère quelconque, la formule est fausse. C'est Pythagore, rien de plus.
Un repère est orthonormé quand ses axes sont perpendiculaires et ont la même unité. Exemple : pour A(0 ; 0) et B(3 ; 4), AB = √(9 + 16) = √25 = 5.
Le critère de colinéarité
Deux vecteurs u(x ; y) et v(x' ; y') sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
xy' − yx' = 0
Ce critère unique remplace la recherche d'un coefficient k.
Exemple : u(2 ; 6) et v(1 ; 3) : 2 × 3 − 6 × 1 = 0, ils sont colinéaires (u = 2v).
Ce qu'on démontre avec
| La propriété à démontrer | La méthode |
|---|---|
| Deux droites parallèles | Deux vecteurs directeurs colinéaires |
| Trois points alignés | Deux vecteurs colinéaires partageant un point |
| Un parallélogramme | Deux vecteurs égaux, ou des diagonales de même milieu |
La géométrie repérée offre presque toujours une démonstration purement calculatoire.
Exemple résolu
A(1 ; 1), B(4 ; 2), C(5 ; 5) et D(2 ; 4). ABCD est-il un parallélogramme ? Les points A, B et E(7 ; 3) sont-ils alignés ?
- AB(3 ; 1) et DC(5 − 2 ; 5 − 4) = (3 ; 1) : AB = DC, donc ABCD est un parallélogramme.
- Contrôle par les diagonales : le milieu de [AC] est (3 ; 3), celui de [BD] aussi.
- AE(6 ; 2) : déterminant de AB et AE = 3 × 2 − 1 × 6 = 0. Ils sont colinéaires et partagent A : A, B, E sont alignés.
La méthode générale : 1. traduire la propriété en vecteurs ; 2. calculer les coordonnées utiles ; 3. appliquer le bon critère ; 4. conclure par une phrase.
Les erreurs fréquentes
- Soustraire dans le mauvais ordre : xA − xB au lieu de xB − xA.
- Utiliser la formule de distance dans un repère non orthonormé.
- Écrire que ABCD est un parallélogramme quand AB = CD : c'est ABDC.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelles sont les coordonnées du vecteur AB si A(1 ; 2) et B(4 ; 7) ?
2.Quelles sont les coordonnées du milieu de [AB] avec A(1 ; 2) et B(5 ; 8) ?
3.Dans quel type de repère la formule de distance est-elle valable ?
4.Quelle est la distance AB pour A(0 ; 0) et B(3 ; 4) en repère orthonormé ?
5.Quel critère caractérise la colinéarité de u(x ; y) et v(x’ ; y’) ?
6.Pour additionner deux vecteurs, on additionne leurs coordonnées.
0 / 6 questions
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