Maths · Seconde · Géométrie
Équations de droites
y = mx + p : lire, calculer, comparer.
En bref
Toute droite du plan admet une équation, et toute équation de cette forme représente une droite.
Les formes d'équation
| La forme | Son écriture | Ce qu'elle couvre |
|---|---|---|
| Réduite | y = mx + p | Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées |
| Verticale | x = c | Les droites parallèles à l'axe des ordonnées |
| Cartésienne | ax + by + c = 0, a et b non tous deux nuls | Tous les cas |
Dans la forme réduite, m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.
p est la valeur de y quand x vaut 0 : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; p). Une droite verticale x = c n'a pas d'équation réduite.
Calculer le coefficient directeur
Pour deux points distincts d'abscisses différentes :
m = (yB − yA) / (xB − xA)
| Le signe de m | La droite |
|---|---|
| Positif | Elle monte |
| Négatif | Elle descend |
| Nul | Elle est horizontale |
Il mesure la variation de y pour une augmentation de 1 de x.
Vecteur directeur
| La forme de l'équation | Un vecteur directeur |
|---|---|
| ax + by + c = 0 | (−b ; a) |
| y = mx + p | (1 ; m) |
Avancer de 1 en abscisse fait monter de m : le vecteur (1 ; m) le dit littéralement.
Exemple : pour 2x + 3y − 6 = 0, a = 2 et b = 3, donc (−3 ; 2) est un vecteur directeur. Sa forme réduite est y = −(2/3)x + 2.
Exemple résolu : l'équation d'une droite par deux points
Trouver l'équation réduite de la droite (AB), avec A(1 ; 2) et B(3 ; 8).
- Les abscisses sont différentes : la droite n'est pas verticale.
- m = (8 − 2) / (3 − 1) = 6 / 2 = 3.
- On remplace avec les coordonnées de A : 2 = 3 × 1 + p, donc p = −1.
- L'équation est y = 3x − 1. Contrôle avec B : 3 × 3 − 1 = 8.
Pour savoir si un point est sur la droite, on remplace ses coordonnées dans l'équation : l'égalité doit être vraie.
Positions relatives
| La situation | Le critère | Ce qu'on fait |
|---|---|---|
| Parallèles | Mêmes coefficients directeurs, ou vecteurs directeurs colinéaires | Rien de plus |
| Sécantes | Coefficients directeurs différents | On résout le système des deux équations pour trouver le point d'intersection |
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur : c'est le critère le plus rapide, et le plus souvent oublié.
Exemple : y = 3x − 1 et y = −x + 7 sont sécantes. On résout 3x − 1 = −x + 7, soit 4x = 8 et x = 2 ; puis y = 5. Le point d'intersection est (2 ; 5).
Les erreurs fréquentes
- Inverser le quotient : m se calcule « variation des y sur variation des x ».
- Chercher une équation réduite pour une droite verticale : elle s'écrit x = c.
- Confondre p, ordonnée à l'origine, et l'abscisse du point où la droite coupe l'axe des abscisses.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que représente m dans l’équation y = mx + p ?
2.Quelle est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées ?
3.Comment calcule-t-on le coefficient directeur passant par A(1 ; 2) et B(3 ; 8) ?
4.Quel est un vecteur directeur de la droite d’équation 2x + 3y − 6 = 0 ?
5.Deux droites de coefficients directeurs égaux sont parallèles.
6.Comment trouver le point d’intersection de deux droites sécantes ?
0 / 6 questions
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