Maths · Seconde · Géométrie
Vecteurs du plan et opérations
Chasles, parallélogramme, colinéarité.
En bref
Un vecteur ne décrit pas un point mais un déplacement : une direction, un sens, une longueur.
Les trois caractéristiques
| La caractéristique | Ce qu'elle est, pour le vecteur AB |
|---|---|
| La direction | Celle de la droite (AB) |
| Le sens | De A vers B |
| La norme | La longueur AB |
Le vecteur nul a une norme nulle et pas de direction propre.
Le vecteur AB est associé à la translation qui envoie A sur B : chaque point du plan subit le même déplacement.
Égalité et parallélogramme
Deux vecteurs AB et CD sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même norme.
C'est exactement dire que ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Un vecteur peut donc être représenté à partir de n'importe quel point.
Dire que deux vecteurs sont égaux, c'est dire qu'un même déplacement a été effectué à deux endroits.
Attention à l'ordre des lettres : AB = CD donne le parallélogramme ABDC, et non ABCD. On le retrouve en suivant le déplacement : A vers B, puis B vers D, puis D vers C.
Somme et relation de Chasles
| La méthode | Son énoncé |
|---|---|
| La relation de Chasles | AB + BC = AC : enchaîner deux déplacements revient à en faire un seul |
| La règle du parallélogramme | La somme est la diagonale issue du point commun |
| La propriété | Son contenu |
|---|---|
| Commutativité | u + v = v + u |
| Associativité | (u + v) + w = u + (v + w) |
| Vecteur opposé | AB + BA est le vecteur nul |
Le vecteur BA est l'opposé de AB : même direction, même norme, sens contraire. On note BA = −AB, et la différence u − v se calcule comme u + (−v).
Multiplication par un réel
| Le réel k | La direction | Le sens | La norme |
|---|---|---|---|
| k > 0 | Inchangée | Conservé | k fois celle de u |
| k < 0 | Inchangée | Opposé | La valeur absolue de k fois celle de u |
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s'il existe un réel k tel que l'un soit k fois l'autre.
La colinéarité traduit exactement le parallélisme des directions — et l'alignement lorsque les vecteurs partagent un point.
Exemple résolu : simplifier avec Chasles
Simplifier u = AB + CA + BC.
- On réordonne grâce à la commutativité : u = CA + AB + BC.
- Chasles : CA + AB = CB, puis CB + BC = CC.
- u est le vecteur nul.
Pour démontrer que A, B, C sont alignés, on montre que AB et AC sont colinéaires : par exemple, si AC = 3AB, les deux vecteurs ont la même direction et partagent le point A.
Les erreurs fréquentes
- Appliquer Chasles aux longueurs : pour les distances, AB + BC = AC n'est vrai que si B est sur le segment [AC].
- Confondre AB et BA : ils sont opposés.
- Croire que −3u a une norme négative : une norme est toujours positive, c'est le sens qui change.
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6 questions pour vérifier
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1.Quelles sont les trois caractéristiques d’un vecteur ?
2.Que signifie l’égalité des vecteurs AB et CD ?
3.Qu’énonce la relation de Chasles ?
4.Que vaut la somme des vecteurs AB et BA ?
5.Quel est le sens du vecteur −3u par rapport à u ?
6.Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’il existe un réel k tel que l’un soit égal à k fois l’autre.
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