Maths · Seconde · Géométrie
Géométrie plane : triangles et projeté orthogonal d’un point sur une droite
Le pied, c’est la plus courte distance.
En bref
La géométrie de seconde reprend les outils du collège et ajoute une notion neuve, le projeté orthogonal, qui donnera plus tard le produit scalaire.
Les outils du triangle
| L'outil | Sa condition d'emploi |
|---|---|
| Pythagore et sa réciproque | Un triangle rectangle |
| Thalès et sa réciproque | Une configuration de droites parallèles |
| La trigonométrie | Un triangle rectangle |
| Le rapport | Sa définition |
|---|---|
| Cosinus | Adjacent sur hypoténuse |
| Sinus | Opposé sur hypoténuse |
| Tangente | Opposé sur adjacent |
Rappels : la réciproque de Pythagore démontre qu'un triangle est rectangle (on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres) ; Thalès calcule des longueurs quand des droites sont parallèles, sa réciproque prouve un parallélisme.
Les droites remarquables
| La droite | Son point de concours | Ce qu'il est |
|---|---|---|
| Médiatrices | Centre du cercle circonscrit | Équidistant des trois sommets |
| Hauteurs | Orthocentre | — |
| Médianes | Centre de gravité | Aux deux tiers de chaque médiane depuis le sommet |
| Bissectrices | Centre du cercle inscrit | Équidistant des trois côtés |
Une hauteur passe par un sommet et coupe perpendiculairement la droite portant le côté opposé : son pied est justement le projeté orthogonal de ce sommet sur ce côté.
Le projeté orthogonal
Le projeté orthogonal de M sur une droite d est le point H de d tel que (MH) soit perpendiculaire à d.
| Sa propriété | Ce qu'elle affirme |
|---|---|
| L'unicité | Il n'y en a qu'un |
| La minimalité | MH est la plus courte des distances de M à un point de d |
C'est ce qu'on appelle la distance du point M à la droite d.
Le projeté orthogonal, c'est l'ombre d'un point sur une droite quand la lumière vient perpendiculairement.
Pourquoi MH est la plus courte : si N est un autre point de d, le triangle MHN est rectangle en H, donc MN² = MH² + HN² ; comme HN n'est pas nul, MN² > MH², et MN > MH.
Exemple résolu
Dans un triangle ABC, AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 cm. Calculer la distance de A à la droite (BC).
- 10² = 100 et 6² + 8² = 36 + 64 = 100 : par la réciproque de Pythagore, ABC est rectangle en A.
- Aire du triangle : (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm².
- Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC) ; l'aire vaut aussi (BC × AH) ÷ 2, donc 10 × AH ÷ 2 = 24.
- AH = 4,8 cm : c'est la distance de A à (BC).
Applications
| L'application | Ce qu'elle utilise |
|---|---|
| Calculer une hauteur, une aire | La distance à une droite |
| Justifier qu'un point est le plus proche | La minimalité |
| Optimiser | Dans de nombreux problèmes concrets, le minimum d'une distance s'obtient au pied de la perpendiculaire |
Les erreurs fréquentes
- Confondre orthocentre (hauteurs) et centre de gravité (médianes).
- Placer le centre de gravité au milieu d'une médiane : il est aux deux tiers depuis le sommet.
- Utiliser Pythagore sans avoir justifié l'angle droit.
En Première, le projeté orthogonal servira à calculer le produit scalaire.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Qu’est-ce que le projeté orthogonal d’un point M sur une droite d ?
2.Que représente la distance MH lorsque H est le projeté orthogonal de M sur d ?
3.Où se coupent les médiatrices d’un triangle ?
4.Où se coupent les hauteurs d’un triangle ?
5.Où se situe le centre de gravité sur une médiane ?
6.Le cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse.
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
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