Maths expertes · Terminale · Nombres complexes
Utilisation des nombres complexes en géométrie
Une transformation devient une opération.
En bref
Le calcul complexe atteint sa pleine utilité ici : chaque transformation usuelle du plan s’écrit comme une opération algébrique sur les affixes.
Le dictionnaire des transformations
| Transformation | Son écriture |
|---|---|
| Translation de vecteur d’affixe b | z′ = z + b |
| Homothétie de centre ω, de rapport k réel | z′ − ω = k (z − ω) |
| Rotation de centre ω, d’angle θ | z′ − ω = e^(iθ) (z − ω) |
| Similitude directe de centre ω, rapport k, angle θ | z′ − ω = k e^(iθ) (z − ω) |
Une rotation est une multiplication par un complexe de module 1 ; une homothétie, une multiplication par un réel. Toute application z ↦ a z + b, a non nul, est une similitude directe.
Multiplier, c’est tourner
Multiplier par i, c’est une rotation d’angle +π/2 autour de l’origine ; par −1, une rotation d’angle π.
C’est l’intuition la plus utile du chapitre : le produit complexe est une rotation-agrandissement.
Lire une figure sur un quotient
Pour trois points A, B, C d’affixes distinctes, on pose Z = (z(C) − z(A))/(z(B) − z(A)).
| Ce qu’on lit | Ce que ça donne |
|---|---|
| Le module de Z | Le rapport de longueurs AC / AB |
| L’argument de Z | L’angle orienté entre les vecteurs AB et AC |
| Z est… | La figure |
|---|---|
| Réel | A, B, C alignés |
| Imaginaire pur | (AB) et (AC) perpendiculaires |
| De module 1 | AB = AC : triangle isocèle en A |
| Égal à e^(iπ/3) | Triangle équilatéral direct |
La méthode d’un exercice
- Traduire l’énoncé en affixes ;
- Calculer le quotient ou l’expression demandée ;
- Interpréter module et argument en longueurs et en angles ;
- Conclure sur la nature de la figure.
C’est une méthode entièrement calculatoire : elle évite la construction et les cas de figure — ce qui est précisément son intérêt à l’écrit.
Les ensembles de points
| L’équation | L’ensemble |
|---|---|
| Module de (z − a) égal à R | Un cercle |
| Module de (z − a) égal au module de (z − b) | Une médiatrice |
| arg(z − a) = θ modulo 2π | Une demi-droite d’origine a |
| Re(z) = k, ou Im(z) = k | Des droites parallèles aux axes |
Ce que les complexes n’apportent pas
Ils ne traitent que le plan. La géométrie de l’espace reste du ressort du produit scalaire et des coordonnées : les deux outils ne se recouvrent pas.
Longueur ↔ module, angle ↔ argument, transformation ↔ opération. Ces trois correspondances suffisent à traduire n’importe quel énoncé de géométrie plane.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Quelle transformation l’écriture z′ − ω = e^(iθ)(z − ω) décrit-elle ?
2.Que produit la multiplication par i ?
3.Que représente |(z(C) − z(A))/(z(B) − z(A))| ?
4.Quelle condition caractérise un triangle isocèle en A ?
5.Quelle transformation z′ = z + b décrit-elle ?
6.Toute application z ↦ a z + b avec a non nul est une similitude directe.
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Géométrie complexe » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
