Mathématiques (voie techno) · Terminale · Statistique et probabilités
Coefficients binomiaux et triangle de Pascal
Compter les chemins sans l’arbre.
En bref
Avec 3 lancers, l’arbre a 8 chemins et se dessine facilement.
Avec 3 lancers, l’arbre a 8 chemins et se dessine facilement. Avec 10, il en a 1 024 : impossible. Les coefficients binomiaux comptent les chemins sans les dessiner.
Définition
Dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli à n épreuves, le coefficient binomial (n k) — qu’on lit « k parmi n » — est le nombre de chemins qui comportent exactement k succès.
Exemple : avec n = 3, les chemins à 2 succès sont SSE, SES, ESS : (3 2) = 3.
Les valeurs à connaître
| Propriété | Pourquoi |
|---|---|
| (n 0) = 1 | Un seul chemin sans succès : E…E |
| (n n) = 1 | Un seul chemin tout en succès : S…S |
| (n 1) = n | Le succès unique peut être à n places |
| (n k) = (n n−k) | Choisir les k succès revient à choisir les n − k échecs |
La formule de Pascal
(n k) + (n k+1) = (n+1 k+1)
Raisonnement sur l’arbre : un chemin de n + 1 épreuves avec k + 1 succès se termine soit par un succès (il en avait k avant : (n k) chemins), soit par un échec (il en avait k + 1 avant : (n k+1) chemins).
Le triangle de Pascal
Chaque nombre est la somme des deux nombres au-dessus de lui.
| n | k = 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
La somme de la ligne n vaut 2^n : c’est le nombre total de chemins (ligne 4 : 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16).
(n k) n’est pas n × k : (6 2) vaut 15, alors que 6 × 2 = 12. On le lit dans le triangle ou on compte les chemins.
En Python : générer le triangle
def triangle(n):
ligne = [1]
for i in range(n):
ligne = [1] + [ligne[k] + ligne[k+1] for k in range(len(ligne) - 1)] + [1]
return lignetriangle(4) renvoie [1, 4, 6, 4, 1].
(n k) : le nombre de façons de placer k succès parmi n épreuves.
Exemple travaillé
Un QCM a 5 questions ; on répond au hasard. Combien de façons d’avoir exactement 2 bonnes réponses ?
- C’est le nombre de chemins à 2 succès parmi 5 épreuves : (5 2).
- Ligne 5 du triangle : 1, 5, 10, 10, 5, 1.
- Il y a 10 façons.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que représente le coefficient binomial (n k) ?
2.Combien vaut (4 2) ?
3.Combien vaut (5 2) ?
4.Combien vaut (6 3) ?
5.Combien vaut (10 1) ?
6.Combien vaut (7 7) ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
Tout « Triangle de Pascal » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
