Mathématiques (voie techno) · Terminale · Statistique et probabilités
Probabilités conditionnelles, arbres et indépendance
On multiplie, puis on additionne.
En bref
Une usine a trois machines qui ne produisent pas la même proportion de pièces défectueuses.
Une usine a trois machines qui ne produisent pas la même proportion de pièces défectueuses. Une pièce est défectueuse : de quelle machine vient-elle probablement ? Les arbres et la formule des probabilités totales répondent.
Probabilité conditionnelle
Pour P(A) ≠ 0 :
P_A(B) = P(A ∩ B) ÷ P(A), d’où P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B)
Les règles de l’arbre
| Règle | Contenu |
|---|---|
| Somme des branches issues d’un nœud | 1 |
| Branches du second niveau | Des probabilités conditionnelles |
| Probabilité d’un chemin | Le produit des probabilités de ses branches |
| Probabilité d’un événement | La somme des probabilités des chemins qui y mènent |
La formule des probabilités totales
Si A1, A2, A3 forment une partition de l’univers (ils ne se chevauchent pas et couvrent tous les cas) :
P(B) = P(A1 ∩ B) + P(A2 ∩ B) + P(A3 ∩ B)
P(B) = P(A1) × P_A1(B) + P(A2) × P_A2(B) + P(A3) × P_A3(B)
Avec deux événements, la partition est simplement A et son contraire Ā.
L’indépendance
Pour des probabilités non nulles, B est indépendant de A si P_A(B) = P(B), ce qui équivaut à :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
L’indépendance est symétrique : si B est indépendant de A, A l’est de B.
Indépendants et incompatibles sont deux notions différentes : deux événements incompatibles (P(A ∩ B) = 0) de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.
Dans un arbre : on multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins.
Exemple travaillé
Machine A : 50 % de la production, 2 % de défauts. Machine B : 30 %, 3 % de défauts. Machine C : 20 %, 5 % de défauts. On note D « la pièce est défectueuse ».
- P(A ∩ D) = 0,5 × 0,02 = 0,010.
- P(B ∩ D) = 0,3 × 0,03 = 0,009.
- P(C ∩ D) = 0,2 × 0,05 = 0,010.
- Probabilités totales : P(D) = 0,010 + 0,009 + 0,010 = 0,029.
- Une pièce est défectueuse : P_D(C) = 0,010 ÷ 0,029 ≈ 0,345. La machine C ne fait que 20 % de la production, mais un tiers des défauts.
- P_C(D) = 0,05 ≠ P(D) = 0,029 : D n’est pas indépendant de C.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.P(A) = 0,4 et P(A ∩ B) = 0,1. Combien vaut P_A(B) ?
2.La machine A fabrique 50 % des pièces, et 2 % de ses pièces ont un défaut (D). Combien vaut P(A ∩ D) ?
3.P(A ∩ D) = 0,010, P(B ∩ D) = 0,009 et P(C ∩ D) = 0,010. Combien vaut P(D) ?
4.P(C ∩ D) = 0,010 et P(D) = 0,029. P_D(C) vaut environ…
5.La probabilité d’un chemin dans un arbre est…
6.Pour appliquer la formule des probabilités totales, les événements A1, A2, A3 doivent…
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