Mathématiques (voie techno) · Terminale · Statistique et probabilités
La loi binomiale et l’espérance
Compter les succès, en moyenne n × p.
En bref
Un joueur tire 10 lancers francs, chacun réussi avec probabilité 0,8 ; une machine produit 20 pièces, chacune défectueuse avec probabilité 0,05.
Un joueur tire 10 lancers francs, chacun réussi avec probabilité 0,8 ; une machine produit 20 pièces, chacune défectueuse avec probabilité 0,05. Le nombre de succès suit une loi binomiale.
L’espérance d’une variable aléatoire
Pour une variable aléatoire X de loi donnée :
E(X) = x_1 × p_1 + x_2 × p_2 + … + x_n × p_n
L’espérance est la moyenne à long terme des valeurs de X. Un jeu est équitable si l’espérance du gain est nulle.
Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale
On répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p). La variable X qui compte les succès suit la loi binomiale B(n ; p).
Pour reconnaître une loi binomiale, il faut vérifier :
- Une épreuve à deux issues (succès / échec).
- Répétée n fois, dans des conditions identiques.
- De façon indépendante.
- X compte le nombre de succès.
Les probabilités
P(X = k) = (n k) × p^k × (1 − p)^(n − k)
| Événement | Probabilité |
|---|---|
| X = 0 | (1 − p)^n |
| X = n | p^n |
| X = 1 | n × p × (1 − p)^(n − 1) |
| X ≥ 1 | 1 − (1 − p)^n |
« Au moins un succès » se calcule presque toujours par le contraire : 1 − P(X = 0).
L’espérance de la loi binomiale
E(X) = n × p (résultat admis)
Avec 10 lancers réussis chacun avec probabilité 0,8, le joueur marque en moyenne 8 paniers.
Exemple travaillé
On lance 4 fois une pièce équilibrée ; X compte les « pile ». X suit B(4 ; 0,5).
- P(X = 2) = (4 2) × 0,5² × 0,5² = 6 × 0,0625 = 0,375.
- P(X = 0) = 0,5⁴ = 0,0625.
- P(X ≥ 1) = 1 − 0,0625 = 0,9375.
- E(X) = 4 × 0,5 = 2 : en moyenne, deux « pile » sur quatre lancers.
Un contrôle qualité
Chaque pièce est défectueuse avec probabilité 0,1, indépendamment ; on en prélève 3. X suit B(3 ; 0,1).
- P(X = 0) = 0,9³ = 0,729.
- P(X = 1) = 3 × 0,1 × 0,9² = 0,243.
- P(au moins une défectueuse) = 1 − 0,729 = 0,271.
Loi binomiale : deux issues, n répétitions identiques et indépendantes, on compte les succès.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.X suit B(4 ; 0,5). Combien vaut P(X = 2) ?
2.X suit B(n ; p). Quelle est son espérance ?
3.X suit B(10 ; 0,2). Combien vaut E(X) ?
4.X suit B(3 ; 0,1). Combien vaut P(X = 0) ?
5.X suit B(3 ; 0,1). Combien vaut P(X ≥ 1) ?
6.X suit B(3 ; 0,1). Combien vaut P(X = 1) ?
0 / 6 questions
Dans l’app, ce chapitre a son quiz complet, chronométré, et tes erreurs reviennent au bon moment pour ne plus les refaire.
La fiche de révision, sur une page
Tout « Loi binomiale » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
