Mathématiques (voie techno) · Terminale · Statistique et probabilités
Séries statistiques à deux variables et ajustement affine
Du nuage de points à la prévision.
En bref
Quand on mesure deux grandeurs sur les mêmes individus — dépenses de publicité et ventes, tension et intensité, âge et taille —, on cherche une relation qui permette d’estimer l’une à partir de l’autre.
Nuage de points et point moyen
Chaque couple (x_i ; y_i) est un point du repère. Le point moyen est G(x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes des x_i et des y_i.
L’ajustement affine
Si le nuage a une forme allongée, on le résume par une droite y = ax + b.
| Méthode | Principe |
|---|---|
| Au jugé | Une droite tracée « au milieu » du nuage, qui passe de préférence par G |
| Moindres carrés | La droite qui rend minimale Σ (y_i − (ax_i + b))², la somme des carrés des écarts verticaux ; on l’obtient à la calculatrice ou au tableur |
La droite des moindres carrés passe par le point moyen G.
Interpoler et extrapoler
- Interpoler : estimer une valeur dans le domaine des données : fiable si le nuage est bien aligné.
- Extrapoler : prévoir au-delà : plus risqué, la tendance peut changer.
Un bon ajustement ne prouve pas de lien de cause à effet : il décrit une tendance.
Quand le nuage n’est pas aligné : le changement de variable
Si le nuage s’incurve, on peut transformer une variable pour redresser le nuage.
| Si l’on soupçonne… | On pose… | Alors |
|---|---|---|
| y ≈ k × a^x (croissance exponentielle) | z = log(y) | z = log(k) + x × log(a) est affine en x |
| y ≈ a/x + b | t = 1/x | y = at + b est affine en t |
| y ≈ ax² + b | u = x² | y = au + b est affine en u |
Exemple : si y ≈ 3 × 2^x, alors log(y) ≈ log(3) + x × log(2) : dans un repère (x ; log(y)), les points sont presque alignés, et le coefficient directeur vaut log(2) ≈ 0,301.
La méthode
- Représenter le nuage et le point moyen.
- Juger de la forme : allongée (affine) ou incurvée (changement de variable).
- Obtenir la droite d’ajustement (calculatrice, tableur).
- L’utiliser pour estimer, en précisant si l’on interpole ou extrapole.
Un ajustement est un modèle : il faut toujours discuter de sa pertinence et de ses limites.
Exemple travaillé
Une entreprise relève ses dépenses de publicité x (en milliers d’euros) et ses ventes y (en milliers d’unités). La calculatrice donne y = 1,8x + 12.
- Pour x = 10 (dans le domaine observé) : y = 30, soit 30 000 unités (interpolation).
- Pour x = 50 (bien au-delà) : y = 102 — une extrapolation fragile, car le marché finit par saturer.
Teste-toi
6 questions pour vérifier
Touche une réponse : la correction s’affiche tout de suite.
1.Que minimise la droite des moindres carrés ?
2.Par quel point passe toujours la droite des moindres carrés ?
3.Estimer une valeur au-delà des données observées, c’est…
4.Si y ≈ k × a^x, quel changement de variable rend le nuage alignable ?
5.Si y ≈ 3 × 2^x, que vaut le coefficient directeur dans le repère (x ; log(y)) ?
6.Si y ≈ a/x + b, quel changement de variable convient ?
0 / 6 questions
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La fiche de révision, sur une page
Tout « Ajustement affine » sur une seule page A4 illustrée : l’essentiel, les pièges et un mini-test. Elle se débloque dans l’app avec des gemmes — et ton compte gratuit en offre assez pour tes trois premières fiches.
